証明

運動方程式を代入することで、

$$\sum_{n=1}^N\mathit{\Gamma}_n z_n \frac{\D\overline{z_n}}{\D t} =\sum_{n=1}^N\mathit{\Gamma}_n\sum_{m\ne n}\mathit{\Gamma}_m\frac{z_n}{z_n-z_m}.$$

ここで

$$\sum_{n=1}^N\sum_{m\ne n}\mathit{\Gamma}_n\mathit{\Gamma}_m\frac{z_n}{z_n-z_m} =\sum_{n=1}^N\sum_{m\ne n}\mathit{\Gamma}_m\mathit{\Gamma}_n\frac... ...mma}_n\mathit{\Gamma}_m \left( \frac{z_n}{z_n-z_m} +\frac{z_m}{z_m-z_n} \right)$$

$$=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^N\sum_{m\ne n}\mathit{\Gamma}_n\mathit{\Gamma}_m$$

に注意すると、

$$\sum_{n=1}^N\mathit{\Gamma}_n z_n \frac{\D\overline{z_n}}{\D t} =\frac{1}{4\pi i}\sum_{n=1}^N\sum_{m\ne n}\mathit{\Gamma}_n\mathit{\Gamma}_m.$$

$N=2$ のとき

$$\frac{\D\overline{z_1}}{\D t}=\frac{1}{2\pi i}\frac{\mathit{\Gamm... ...frac{\D\overline{z_2}}{\D t}=\frac{1}{2\pi i}\frac{\mathit{\Gamma}_2}{z_2-z_1}$$

を解く。

(i)

$\mathit{\Gamma}_1+\mathit{\Gamma}_2=0$ のとき

(ii)

$\mathit{\Gamma}_1+\mathit{\Gamma}_2\ne0$ のとき

という二つの場合に分類する。

(i)

重心の保存則より $z_1(t)-z_2(t)=C$ ($C$ は定数) であるから、

$$\frac{\D\overline{z_1}}{\D t} =\frac{1}{2\pi i}\frac{\mathit{\Gam... ...mma}_2}{C}, \quad \frac{\D\overline{z_2}}{\D t}=\frac{\D\overline{z_1}}{\D t}.$$

まとめて

$$\frac{\D\overline{z_1}}{\D t}=\frac{\D\overline{z_2}}{\D t} \equiv\frac{1}{2\pi i}\frac{\mathit{\Gamma}_2}{C}.$$

ゆえに $z_1$, $z_2$ は同じ速度で等速直線運動をし、 その速度は $z_1-z_2$ に垂直である。

(ii)

やはり重心の保存則から

$$\mathit{\Gamma}_1 z_1(t)+\mathit{\Gamma}_2 z_2(t)=C$$   (定数)$$.$$

そこで

$$\xi(t)=z_1(t)-\frac{C}{\mathit{\Gamma}_1+\mathit{\Gamma}_2},\quad \eta(t)=z_2(t)-\frac{C}{\mathit{\Gamma}_1+\mathit{\Gamma}_2}$$

とおくと、 $\mathit{\Gamma}_1\xi+\mathit{\Gamma}_2\eta=0$ となる。よって、

$$\eta=-\frac{\mathit{\Gamma}_1}{\mathit{\Gamma}_2}\xi.$$

ゆえに

$$\frac{\D\overline \xi}{\D t}=\frac{1}{2\pi i}\frac{\mathit{\Gamma... ...mathit{\Gamma}_2^2}{2\pi i(\mathit{\Gamma}_1+\mathit{\Gamma}_2)}\frac{1}{\xi}.$$

これから $\exists r_0$, $\exists \sigma_0$, $\exists\theta_0$ s.t.

$$\left\{ \begin{array}{l} \xi(t)=r_0 \exp(i(\sigma_0 t+\theta_0))\... ...ma}_2}{\mathit{\Gamma}y_1}r_0 \exp(i(\sigma_0 t+\theta_0)). \end{array}\right.$$

$$\frac{\D\overline\xi}{\D t}=\frac{A}{\xi}$$

を解けるか？ $\xi=x+i y$, $A=a+ib$ とすると、

$$\frac{\D x}{\D t}=\frac{ax+by}{x^2+y^2},\quad \frac{\D y}{\D t}=\frac{ay-bx}{x^2+y^2}.$$