5.5.0.1 証明

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5.5.0.1 証明

非圧縮性条件は、

が調和関数という仮定から

$\displaystyle \div v=\div \grad U=\Laplacian U=0.$

渦度が 0 になることは、 $\rot\grad =0$ というベクトル解析の公式から

$\displaystyle \omega=\rot v=\rot grad U=0.$

圧力

は

$\displaystyle p=-\frac{1}{2} \left( \left\vert\frac{\rd U}{\rd x}\right\vert^2 ... ...rd U}{\rd y}\right\vert^2 + \left\vert\frac{\rd U}{\rd z}\right\vert^2 \right)$

で与えられる (Bernoulli の等式)。 -- これは

が Euler の運動方程式や境界条件を満たすことをチェックすればよいのかな？ (宿題だ！) $\qedsymbol$

$\begin{jexample}[球をすぎる渦無しの流れ]\upshape $\Omega=\{(x,y,z)\in \R^3; a^2... ...rad p-\grad\left(\frac12q^2\right)+v\times\omega \end{displaymath}\end{jexample}$

u=c*x*(1+a^3/(2*(x^2+y^2+z^2)^(3/2))) uxx=Simplify[D[u,{x,2}]] uyy=Simplify[D[u,{y,2}]] uzz=Simplify[D[u,{z,2}]] Simplify[uxx+uyy+uzz]

$\begin{jexample}[円柱を過ぎる流れ] \begin{displaymath} \Omega=\{(x,y); x^2+y^2>... ...柱の表面で $V=0$\ であるから、$v\cdot \Vector{n}=0$\ となる。\qed \end{jexample}$

$\begin{jexample}[せん断流]\upshape $\Omega=\R^3$ \end{jexample}$

ARRAY(0xf11e7c)

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Masashi Katsurada
平成19年12月29日