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B..5 ガンマ関数

(Euler の) ガンマ関数とは、 $ \mathrm{Re}  z>0$ なる $ z\in\C$ に対して次式で定義される。

$\displaystyle \Gamma(z)=\int_0^\infty e^{-x}x^{z-1} \D x$   $\displaystyle \mbox{($\mathrm{Re} z>0$)}$$\displaystyle .
$

これは正則関数なので、解析接続によって拡張され、 0 以下の整数全体が極全体となる有理型関数となる。

実変数の関数とみたときのグラフを次に掲げる。

\includegraphics[width=10cm]{Gamma.eps}

任意の $ z\in\C$ に対して

$\displaystyle \Gamma(z+1)=z\Gamma(z)
$

がなりたち、特に $ n\in\N$ に対して

$\displaystyle \Gamma(n)=(n-1)!.
$


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Masashi Katsurada
平成18年11月21日