A..6 応用1: 円盤領域のラプラシアンの固有値問題

$\Omega=\{(x,y)\in\R^2; x^2+y^2<1\}$ におけるラプラシアンの固有値問題

$$-\Laplacian u=\lambda u \mbox{(in $\Omega$)} ,$$ (6)

$$u=0 \mbox{(on $\rd\Omega$)} ,$$ (7)

$$u\not\equiv 0$$ (8)

を考える。 すなわちこの3つの方程式をみたす関数 $u$ と 定数 $\lambda$ を求める。$\lambda$ を固有値、 $u$ を $\lambda$ に属する固有関数とよぶ。

極座標変換

$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad U(r,\theta)=u(x,y)$$

を導入すると

$$U_{rr}+\frac{1}{r}U_r+\frac{1}{r^2}U_{\theta\theta}=-\lambda U \mbox{($0<r<1$, $\theta\in[0,2\pi]$)} ,$$ (9)

$$U(1,\theta)=0 \mbox{($\theta\in[0,2\pi]$)} ,$$ (10)

$$U\not\equiv 0.$$ (11)

変数分離解を求める。すなわち

$$U(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta)$$

の形をしているものを求める。 (9) に代入して $R(r)\Theta(\theta)$ で割ると

$$\frac{R''}{R}+\frac{1}{r}\frac{R'}{R} +\frac{1}{r^2}\frac{\Theta''}{\Theta} =-\lambda.$$

移項して

$$\frac{r^2 R''+r R'+\lambda r^2 R}{R} =-\frac{\Theta''}{\Theta}.$$

明らかにこの等式の値は定数である。それを $\mu$ とおくと、

$$\Theta''=-\mu\Theta.$$

$\Theta$ が周期 $2\pi$ の関数であることを考えると、

$$(\exists n\in\N\cup\{0\})\quad (\exists A,B\in\C)$$   s.t.$$\quad \mu=n^2,\quad\Theta(\theta)=A\cos n\theta+B\sin n\theta.$$

$\mu=n^2$ のとき、$R(r)$ については

$$r^2 R''+r R'+(\lambda r^2-n^2)R=0.$$

すなわち

$$R''+\frac{1}{r}R'+\left(\lambda-\frac{n^2}{r^2}\right)R=0.$$

ここで $\lambda>0$ を仮定して

$$z=\sqrt{\lambda}r,\quad R(r)=f(z)$$

とおくと、

$$\lambda f''\left(\sqrt{\lambda}r\right) +\frac{\sqrt{\lambda}}{r}... ...\right) +\left(\lambda-\frac{n^2}{r^2}\right) f\left(\sqrt{\lambda}r\right)=0.$$

ゆえに

$$f''(z)+\frac{1}{z}f'(z)+\left(1-\frac{n^2}{z^2}\right)f(z)=0.$$

これは Bessel の微分方程式である。 $f(z)$ は $z=0$ で有界であるから、

$$\exists C\in\C$$   s.t.$$\quad f(z)=C J_n(z).$$

すなわち

$$R(r)=f(z)=f\left(\sqrt{\lambda}r\right)=C J_n(\sqrt{\lambda}r).$$

ところで $R(1)=0$ であるから、

$$C J_n(\sqrt{\lambda})=0.$$

$C\ne 0$ であるから $\sqrt{\lambda}$ は $J_n$ の零点である。

$$\exists m\in\N$$   s.t.$$\quad \sqrt{\lambda}=\mu_{nm}.$$

これから $\lambda=\mu_{nm}^2$.

以上から、 $\lambda:=\mu_{nm}$ は円盤領域におけるラプラシアンの固有値であり、

$$u_{nm}(r,\theta):= J_n(\mu_{nm}r)(A'\cos n\theta+B'\sin n\theta)$$

は $\lambda$ に属する固有関数であることが分かる。

実はこれ以外に固有値はなく、 固有関数もここに現われるものだけで十分であることが分かる。

(工事中)