A. 滑らかなコンパクト台の関数の例

横田一郎, 多様体とモース理論, 現代数学社 (1978) から。

$$f(x)\DefEq \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{($x\le 0$)} \exp\left(-\Dfrac{1}{x}\right) & \mbox{($x> 0$)} \end{array} \right.$$ (4)

で定義される $f\colon\R\to \R$ は $C^\infty$-級である。

$$g(x)\DefEq \frac{f(x)}{f(x)+f(1-x)}$$ (5)

とおくと、$g$ は $C^\infty$-級で

$$0\le g\le 1, \quad g(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{($x\le 0$)} \\ 1 & \mbox{($x\ge 1$)} \end{array}\right.$$

$a>b>0$ を満たす任意の $a$, $b$ に対して、 $h_{a,b}\colon\R\to\R$ を

$$h_{a,b}(x)\DefEq g\left(\frac{x+a}{a-b}\right) g\left(\frac{-x+a}{a-b}\right)$$ (6)

で定めると、$h_{a,b}$ は $C^\infty$-級で、

$$h_{a,b}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{($\vert x\vert\le b$)}\\ 0 & \mbox{($\vert x\vert\ge a$)} \end{array}\right.$$

/* ./h | graph -b -g 1 | xplot */

#include <math.h>

int main()
{
  double h_ab(double, double, double);
  int i, n;
  double a, b, x, h;
  n = 100;
  a = - 3.0; b = 3.0;
  h = (b - a) / n;
  for (i = 0; i <= n; i++) {
    x = a + i * h;
    printf("%f %f\n", x, h_ab(x, 2.0, 1.0));
  } 
}

double f(double x)
{
  if (x <= 0)
    return 0;
  else
    return exp(- 1.0 / x);
}

double g(double x)
{
  return f(x) / (f(x) + f(1 - x));
}

double h_ab(double x, double a, double b)
{
  return g((x + a) / (a - b)) * g((- x + a) / (a - b));
}

	gnuplot> plot [-3:3] [-0.5:1.5] "h.data" with lines
gnuplot> set output "h.eps"
gnuplot> set term postscript eps color
gnuplot> replot