1.5 計算練習: $ g$ の Fourier 係数

$ g$ の Fourier 級数展開を求めてみよう。 $ g$ は奇関数であるから、$ a_n=0$ はすぐ分かる (実際、 $ g(x)\cos nx$ は奇関数であるから $ [-\pi,\pi]$ で積分すると 0)。

$ g(x)\sin nx$ は偶関数で、$ x>0$ では $ \sin nx$ に等しいので、

$\displaystyle b_n$ $\displaystyle =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi g(x)\sin nx\;\Dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^\pi \sin nx\;\Dx$    
  $\displaystyle =-\frac{2}{\pi}\left[\frac{\cos nx}{n}\right]_0^\pi =-\frac{2}{n\...
...n$ が偶数)}\ \dfrac{4}{n\pi}& \text{($n$ が奇数)}. \end{array} \right.$    

ゆえに

$\displaystyle S[g](x)=\frac{4}{\pi}
\left(
\frac{\sin x}{1}+\frac{\sin 3x}{3}+\frac{\sin 5x}{5}+\cdots
\right).
$



桂田 祐史