3.3 工事中

(2022/8/12 追記。2023年度の授業で用いるため。しばらく工事中。 内容の正しさは保証しない。)

流れ関数をどのように求めるか。Jordan領域であれば、 境界上の流れ関数の値が

$$\psi(\bm{x})=\int_{C_{\bm{x}}}\bm{v}\cdot\bm{n}\;\D s$$

と線積分で求められるので ( $C_{\bm{x}}$ は境界上に取った定点を始点として、 境界に沿って$\bm{x}$まで達する曲線である)、 Dirichlet境界値問題を解いて求められる。

ところで、もしも境界上で $\bm{v}$ が既知ならば、 実は Neumann 境界データ $\dfrac{\rd\psi}{\rd \bm{n}}$も求められる。 $\frac{\rd\psi}{\rd\bm{n}}=-\bm{v}\cdot\bm{t}$ である。

速度ポテンシャルと同様にして流れ関数が求められることになる。 以上は実はこれまで気づいていなかった (ちょっと恥ずかしい)。 まだ忙しくて整理する時間がないが、散逸するとまずいので、 とりあえず書いたメモをここに移しておく。

どちらかというと「複素関数と流体力学」に書くことかな？

• 2次元または3次元の速度場 $\bm{v}$ が速度ポテンシャルを持つためには、 流れが渦なしであること、すなわち
  $$\rot\bm{v}=0$$
  が必要であり、またこの条件が成り立つとき、 単連結領域では速度ポテンシャル $\phi$ が存在する。 実際、任意の $\bm{x}\in\rd\Omega$ に対して、 $\bm{a}$ から $\bm{x}$ に至る曲線 $C_{\bm{x}}$ を取り
  $$\phi(\bm{x})=\int_{C_{\bm{x}}}\bm{v}\cdot\D\bm{r}$$
  が速度ポテンシャルとなる。
  2次元3次元での渦なしの流れでは速度ポテンシャルが存在することが期待できる
• 速度場 $\bm{v}$ の速度ポテンシャル $\phi$ が存在するとき、$\phi$ は
  $$\Laplacian \phi=\Div\bm{v}$$   in $\Omega$$$,\quad \frac{\rd\phi}{\rd\bm{n}}=\bm{v}\cdot\bm{n}$$   (on $\rd\Omega$)
  を満たす。 特に流れが非圧縮の場合、$\phi$ は調和関数であるので、 $\rd\Omega$ 上での $\bm{v}\cdot\bm{n}$ が既知とすると、 これは Laplace 方程式の Neumann 境界値問題である。
  $$\int_{\rd\Omega}\frac{\rd\phi}{\rd\bm{n}}\;\D s =\int_{\rd\Omega... ...t\bm{n}\;\D s =\int_{\Omega}\Div\bm{v}\;\D\bm{x} =\int_{\Omega}0\;\D\bm{x}=0$$
  であるから解が存在し、定数差を除いて一意的に定まる。
• $\psi$ が2次元速度場 $\bm{v}$ の流れ関数であるとは
  $$\psi_x=-v,\quad \psi_y=u$$
  が成り立つことと定義される。存在するためには
  $$\rot \begin{pmatrix}-v \\ u \end{pmatrix} =\frac{\rd u}{\rd x}+\frac{\rd v}{\rd v} =\Div\bm{v}=0$$
  であること、すなわち非圧縮な流れであることが必要である。 この条件が満たされていて、単連結領域であれば

  $$\heartsuit \psi(\bm{x}) :=\int_{C_{\bm{x}}}\begin{pmatrix}-v \\ u \end{pmatrix}\cdot\D\bm{r} =\int_{C_{\bm{x}}}\bm{v}\cdot\bm{n}\;\D s$$

  
  
  で定義された $\psi$ は流れ関数である。注意すべきは単連結でなくても、 この式により $\psi$ が well-defined になる場合があることである。 例えば互いに交わらない有限個の Jordan 領域 $D_1$, $\cdots$, $D_r$ があり、 $\Omega=\mathbb{R}^2\setminus\dsp\bigcup_{k=1}^r \overline{D_k}$ となっていて、各境界 $\rd D_k$ ( $1\le k\le r$) に沿っての線積分が0:
  $$\int_{\rd D_k}\bm{v}\cdot\bm{n}\;\D s =0$$
  という条件が成り立つならば、( $\heartsuit$) は流れ関数を定める。
  2次元非圧縮な流れでは流れ関数が存在することが期待できる
  流れ関数 $\psi$ が存在するならば
  $$\Laplacian\psi=-\rot\bm{v}$$
  が成り立つ。特にポテンシャル流であれば渦なしであるから、 $\psi$ は調和関数である。
• $\Omega$ が Jordan領域である場合、 $\rd\Omega$ 上の点 $\bm{a}$ を固定して、 任意の $\bm{x}\in\rd\Omega$ に対して、$\bm{a}$ から $\bm{x}$ に至る 曲線 $C_{\bm{x}}$ を取り
  $$\Psi(\bm{x}):=\int_{C_{\bm{x}}}\bm{v}\cdot\bm{n}\;\D s$$
  とおいて $\Psi\colon\rd\Omega\to\mathbb{R}$ が定義できる。
  $$\Laplacian\psi=-\rot\bm{v}$$   in $\Omega$$$,\quad \psi=\Psi$$   on $\rd\Omega$
  という Dirichlet 境界値問題を解けば $\psi$ が得られる？ これは渦なしの場合に限ったりするかな。
• $\rd\Omega$ 上で $\bm{v}$ を知っていれば、 Neumann 境界値問題の解としても求められるかな？
  $$\frac{\rd\psi}{\rd\bm{n}}=\nabla\psi\cdot\bm{n} = \begin{pmatrix... ... \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \bm{n} =-\bm{v}\cdot\bm{t}.$$
  $$\Laplacian\psi=0$$   in $\Omega$$$,\quad \frac{\rd\psi}{\rd\bm{n}}=-\bm{v}\cdot\bm{t}$$   on $\rd\Omega$$$.$$
  解が存在するためには
  $$\int_{\rd\Omega}\bm{v}\cdot\bm{t}\;\D s=0$$
  であることが必要？ Stokesの定理？これはポテンシャルが存在すれば満たされる。
• おっと、思いの外深く進んだ。
• 角 $\pi/2$, 反時計回りの回転を$R$とする:
  $$R=\begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.$$
  これを用いると Cauchy-Riemann 方程式 $u_x=v_y$, $u_y=-v_x$ は
  $$\nabla v=R\nabla u$$
  と書ける。
  $$\frac{\rd\psi}{\rd n}=\nabla\psi\cdot\bm{n} =R\nabla\phi\cdot\bm... ...\nabla\phi\cdot R^{-1}\bm{n} =\nabla \phi\cdot(-\bm{t}) =-\bm{v}\cdot\bm{t}.$$

• 2次元非圧縮流では、流れ関数 $\psi$ が存在しそうで、その場合
  $$-\Laplacian\psi=\rot\bm{v}$$   in $\Omega$$$,\quad \frac{\rd\psi}{\rd\bm{n}}=-\bm{v}\cdot\bm{t}$$   on $\rd\Omega$$$.$$
  $\bm{v}$ のポテンシャルが存在する場合は、 $\rot\bm{v}=0$ であり、 また
  $$\int_{\rd\Omega}\frac{\rd\psi}{\rd\bm{n}}\D s =-\int_{\rd\Omega}\bm{v}\cdot\bm{t}\;\D s =-\oint_{\rd\Omega}\nabla\phi\cdot\bm{t}\;\D s=0$$