3.2 FreeFem++ プログラム (その2) 流体の速度ポテンシャルを求める

速度ポテンシャルを求める境界値問題

$$\Laplacian\phi=0 \Omega$$ (3.4)

$$\frac{\rd\phi}{\rd\bm{n}}=\bm{v}\cdot\bm{n} \rd\Omega$$ (3.5)

の場合は、 $\Gamma_1=\emptyset$, $\Gamma_2=\rd\Omega$, $f=0$, $g_2=\bm{v}\cdot\bm{n}$.

特に $\Omega=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2<1\right\}$, $\bm{v}\equiv \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ のときは、 $(x,y)\in\rd\Omega$ において $\bm{n}=\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}$ であるから、

$$g_2=\bm{v}\cdot\bm{n}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =x+2y.$$

速度ポテンシャルを求める potential2d-v0-kai.edp ← これを保存する

/Users/mk/.tex-inputs/potential-progs/potential2d-v0-kai.edp

ターミナルでこうして入手できる

curl -O https://m-katsurada.sakura.ne.jp/complex2/potential2d-v0-kai.edp

プログラムはテキスト・エディター (Cot Editor, テキスト・エディット⁵, Visual Studio Code, Vim, emacs など) で作成し、ターミナルから、

こんなふうにして実行

FreeFem++ potential2d-v0.edp

とタイプして実行できる。リターン・キーを打つごとに次の図に進み、 最後 (ベクトル場と等ポテンシャル線を描いてお終い) は Escape キーを打って終了する。

図: $\Omega$ の三角形分割

図: 一様流の等ポテンシャル線, 流線, ベクトル場

このプログラムは、 図の PostScript データ “counterpotential.eps”, “vectorfield.eps”, “both.eps” を出力している。

(実は、上の弱形式は解の一意性がないので ($\rd\Omega$ 全体で Neumann 境界条件だから)、 このプログラムは少し危ういところがある。)