E..1 離散変数法

未知関数 $\bm{x}=\bm{x}(t)$ についての1階正規形の常微分方程式

$$\frac{\D\bm{x}}{\D t}(t)=f(t,\bm{x}(t)) t\in(a,b)$$ (13)

について考える。これは

$$\frac{\D\bm{x}}{\D t}=f(t,\bm{x})$$   ( $t\in(a,b)$)

と書くこともある。

正規形というのは、方程式に現れる最高階の導関数 (1階なので $\D \bm{x}/\D t$) について解かれている (つまり $\frac{\D\bm{x}}{\D t}=$   何とか という形で、右辺には $\D \bm{x}/\D t$ は現れない) ということを意味する。

2階以上の方程式は、簡単に1階の微分方程式に変換できるので、 (17) は、応用上十分に一般的な設定であろう。

初期条件としては

$$\bm{x}(a)=\bm{x}_0$$ (14)

の形のものを考える。

$$a=t_0<t_1<\cdots<t_N=b$$ (15)

$$\bm{x}_j:=\bm{x}(t_j)$$   ( $j=1,\cdots,N$)

を近似的に求めることを目標とする。

$$h_j:=t_{j+1}-t_j$$

を刻み幅とよぶ。$h_j$ のことを $\Delta t_j$ と書くテキストも多い。

しばしば区間 $[a,b]$を $N$ 等分する。この場合は $h_j$ がすべて

$$h:=\frac{b-a}{N}$$ (16)

に等しい、ということであり、

$$t_j=a+j h j=0,1,\cdots,N$$ (17)

が成り立つ。

精度を確保するために、$h_j$ を適当に選ぶことがある(刻み幅の自動調節)。

$\bm{x}_j$ から $\bm{x}_{j+1}$ を近似的に求めるために色々なやり方がある。 (注: ここから後の $\bm{x}_j$ は、厳密には $\bm{x}(t_j)$ と異なるので、 本当は別の記号を用いるべきかもしれない。)

(1) 前進Euler法

$$\frac{\bm{x}_{j+1}-\bm{x}_{j}}{h_j}=f(t,\bm{x}_j)$$   ( $j=0,1,\cdots,N-1$)

$$\bm{x}_{j+1}=\bm{x}_j+h_j f(t,\bm{x}_j) j=0,1,\cdots,N-1 .$$ (18)

(2) 後退Euler法

$$\frac{\bm{x}_{j}-\bm{x}_{j-1}}{h_j}=f(t,\bm{x}_j)$$   ( $j=1,2,\cdots,N$)

言い換えると

$$\frac{\bm{x}_{j+1}-\bm{x}_{j}}{h_j}=f(t,\bm{x}_{j+1})$$   ( $j=0,1,\cdots,N-1$)$$.$$

$$\bm{x}_{j+1}-h_jf(t,\bm{x}_{j+1})=\bm{x}_{j}.$$ (19)

(3) (古典的, 4次の) Runge-Kutta法

$$\bm{x}_{j+1} =\bm{x}_j+\frac{1}{6}\left(\bm{k}_1+2\bm{k}_2+2\bm{k}_3+\bm{k}_4\right)$$ (20)

$$\bm{k}_1=h_j f(t_j,\bm{x}_j),$$ (21)

$$\bm{k}_2=h_j f(t_j+h_j/2,\bm{x}_j+\bm{k}_1/2),$$ (22)

$$\bm{k}_3=h_j f(t_j+h_j/2,\bm{x}_j+\bm{k}_2/2),$$ (23)

$$\bm{k}_4=h_j f(t_j+h_j,\bm{x}_j+\bm{k}_3)$$ (24)

本当は、 $\bm{k}_1$, $\bm{k}_2$, $\bm{k}_3$, $\bm{k}_4$ は、 $j$に依存するので、 例えば $\bm{k}_{1,j}$, $\bm{k}_{2,j}$, $\bm{k}_{3,j}$, $\bm{k}_{4,j}$ のように 書くべきであろうが、多くの本でサボってある。