3.1 2階以上の方程式の1階方程式への書き換え (簡単だけど重要)

$x(t)$ が実数であっても、微分方程式が2階以上である場合は、 以下に見るように、ベクトル値関数についての1階方程式になる。

例えば、単振動の方程式

$$x''(t)=-\omega^2 x(t) t\in[0,+\infty)$$ (10)

(ここで$\omega$ は正の定数) は、

$$x_1(t)=x(t),\quad x_2(t)=x'(t),\quad \bm{x}(t) =\begin{pmatrix}x_1(t) x_2(t) \end{pmatrix}$$

とおくと、

$$x_1'(t)=x'(t)=x_2(t),$$

$$x_2'(t)=(x'(t))'=x''(t)=-\omega^2 x(t)=-\omega^2 x_1(t)$$

であるから

$$\frac{\D\bm{x}}{\D t} =\frac{\D}{\D t} \begin{pmatrix} x_1(t)\... ... \begin{pmatrix} x_2(t)\\ -\omega^2 x_1(t) \end{pmatrix} =f(t,\bm{x}(t)).$$

すなわち

$$\frac{\D\bm{x}}{\D t}=f(t,\bm{x}),\quad f(t,\bm{x}) :=\begin{pmatrix}x_2 -\omega^2 x_1 \end{pmatrix}$$ (11)

と書き直せる。