2.3.2 プログラムの解読

• 11行目 これは C++ のプログラムにはいつでも書く。
• 12行目 C の #include <math.h> に相当する。 代わりに #include <math.h> としても OK.
• 13行目 これで Eigen の密行列関係の機能が使えるようになる。
• 14行目 Eigen:: を省略するため。同様に using namespace std; とすることも考えられるが、 このプログラムでは、55行目に std::cout, std::endl としているだけなので、しなかった。
• 18行目 VectorXd は成分が double で、サイズが動的に選べるベクトル
• 18〜26行 関数定義。f() は、 常微分方程式 $\dfrac{\D\bm{x}}{\D t}=\bm{f}(t,\bm{x})$ の右辺の $\bm{f}(t,\bm{x})$ を計算するための関数である。
• 43行目。これは

    x(0) = 0;
    x(1) = 0;
    x(2) = 50 * cos(pi*50/180);
    x(3) = 50 * sin(pi*50/180);
  

  としても良い。
• 46〜50行はいわゆる Runge-Kutta法である。 時間刻みを $\tau$ としたとき、

  $$\bm{x}_{n+1}=\bm{x}_n+\frac{1}{6} \left(\bm{k}_1+2\bm{k}_2+2\bm{k}_3+\bm{k}_4\right),$$

  $$\bm{k}_1=\tau f(t,\bm{x})$$

  $$\bm{k}_2=\tau f(t+\frac{\tau}{2},\bm{x}+\bm{k}_1/2)$$

  $$\bm{k}_3=\tau f(t+\frac{\tau}{2},\bm{x}+\bm{k}_2/2)$$

  $$\bm{k}_4=\tau f(t+\tau,\bm{x}+\bm{k}_3)$$

  
  
  というのが Runge-Kutta法の公式であるが、 それをほぼそのまま書けるところが、ベクトルを使える利点である。