D..2 問題2

$\R^n$ の開集合 $\Omega$ で定義された関数 $f\colon \Omega\to \R^m$ について、 (a) $f$ は連続, (b) $f$ は各変数につき偏微分可能, (c) $f$ は $C^1$ 級, (d) $f$ は全微分可能, という4つの条件を考える。

(1)

条件 (d) が成り立つとはどういうことか定義を述べよ。

(2)

条件 (a), (b), (c), (d) 間の関係について説明せよ。

(3)

次式で定義される $f\colon\R^2\to\R$ について以下の (i), (ii) に答えよ。 (i) $\R^2\setminus\{(0,0)\}$ で $C^\infty$ 級であることを示せ。 (ii) $\R^2$ で条件 (a), (b), (c), (d) を満たすかどうか調べよ。

$$f(x,y):= \begin{cases} \dfrac{x^2+xy+x^2 y+y^2+y^3}{x^2+y^2} & ... ...$(x,y)\in\R^2\setminus\{(0,0)\}$)}\\ 1 & \mbox{($(x,y)=(0,0)$)}. \end{cases}$$