5.10 文字式 (多項式、分数式、その他)

これが「数式処理」という言葉にもっともしっくり来る計算でしょうか (英語を覚えていないと大変かも知れませんが…頑張って下さい)。

文字式の計算 (1)

Expand[(1+x)^10]	多項式の展開
Factor[x^3+y^3+z^3 - 3 x y z]	多項式の因数分解
Apart[1/(x^3-1)]	部分分数への分解
2 f[x] + 3 f[x]
p1 = Expand[(1+x)^10]	多項式の展開結果を変数に代入
p2 = (1+x)^3
PolynomialQuotient[p1,p2,x]	多項式の商
PolynomialRemainder[p1,p2,x]	多項式の剰余
PolynomialQuotientRemainder[p1,p2,x]	多項式の商と剰余 (同時に求める)
Remove[p1,p2]	おそうじ

有理数・有理式に対して、Numerator[], Denominator[] で 分子、分母を取り出すことが出来る。

多項式 $f(x)$ と $g(x)$ の最大公約多項式を $d(x)$ とするとき、

$$d(x)=p(x)f(x)+q(x)g(x)$$

を満たす多項式 $p(x)$ , $q(x)$ が存在する (Euclid の互除法によって、$d(x)$ と同時に計算できる) が、 PolynomialExtendedGCD[] は $d(x)$ , $f(x)$ , $g(x)$ を求めることが出来る。

文字式の計算 (2)

f=x^6+1
g=x^3-2x^2+x-2
PolynomialGCD[f,g]	最大公約多項式
PolynomialExtendedGCD[f,g,x]	最大公約多項式
Discriminant[a x^2+b x+c,x]	おなじみ $a x^2+b x+c$ の判別式
Discriminant[x^3+p x+q,x]	3次式の判別式は見たことがないかな？
Remove[f,g]	おそうじ

(余談: 最近 (2011年のこと)、 16次多項式の判別式の計算に成功したというニュースがありました。 38億近い項数だそうです。次数が高くなると、急激に大変になるんですね。)

終結式を計算する Resultant[], グレブナー基底を計算する GroebnerBasis[] なども用意されています (高校数学には出て来ない、ちょっと高級な概念)。