8.2 数学を少し

$\R^n$ 内の (パラメーター) 曲線とは、 $\R$ の閉区間 $I=[a,b]$ から $\R^n$ への連続写像 $\varphi\colon I \to\R^n$ として定義するのが「普通」である。 $n=2$ の場合は ParametricPlot[] で、 $n=3$ の場合は ParametricPlot3D[] で描くことが出来る。

平面曲線は、パラメーター曲線として表す以外に、

(i)

$1$変数関数のグラフ

$$y=f(x)$$   $$\mbox{($x\in I$)}$$   つまり$$\quad \{(x,f(x)); x\in I\}.$$

(ii)

$2$ 変数関数の零点集合

$$f(x,y)=0$$   $$\mbox{($(x,y)\in \Omega$)}$$   つまり$$\quad \{(x,y)\in\Omega; f(x,y)=0\}.$$

あるいはより一般にレベルセット $f(x,y)=L$.

例えば双曲線

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$

は「2変数関数のレベルセット」として表現してあるが、これを

$$y=\pm b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}$$   $$\mbox{($\vert x\vert>a$)}$$

とすると「1変数関数のグラフ」による表現になるし、

$$\left\{ \begin{array}{ll} x=\pm a\cosh t\\ y=b\sinh t \end{array} \right. \quad\mbox{($t\in\R$)}$$

のような「パラメーター曲線」による表現が得られる。 それぞれ ContourPlot[], Plot[], ParametricPlot[] で描画できる。

同様に、$\R^3$ 内の曲面を表すためには、次の方法がある。

(a)

パラメーター曲面

$$x=\varphi_1(u,v),\quad y=\varphi_2(u,v),\quad z=\varphi_3(u,v)$$   $$\mbox{($(u,v)\in D\subset \R^2$)}$$

(b)

2変数関数のグラフ

$$z=f(x,y)$$   $$\mbox{($(x,y)\in D$)}$$   つまり$$\quad \{(x,y,f(x,y)); (x,y)\in D\}.$$

(c)

3変数関数の零点集合

$$f(x,y,z)=0$$   つまり$$\quad \{(x,y,z)\in\Omega; f(x,y,z)=0\}.$$

(a) は ParametricPlot3D[] で、 (b) は Plot3D[] で、 (c) は ContourPlot3D[] で描くことができるわけである。