4 研究課題3 -- $\tan z$ の Taylor 展開

これもレポートを提出するかどうか任意(余裕がある人向けの「挑戦課題」)。 締め切りはこの講義の最終回まで。 提出方法は、 syori2＠math.meiji.ac.jp (＠はASCIIの@) に電子メールを送ること。

微積分の教科書を見ると、 多くの初等関数 ($\exp$ , $\cos$ , $\sin$ , $(1+x)^\alpha$ , $\log(1+x)$ など) の Taylor 展開が載っていますが、 $\tan$ の Taylor 展開が載っている本はあまりありません。 実は $\tan$ の Taylor 展開の一般項の係数は、 大学2年生が知っているものを使って表すことは出来ません (ベルヌーイBernoulli 数というものを使うと表示できます)。 しかし、Taylor 展開の最初の数項を求めるだけならば、 大学1,2年生レベルの数学で十分です (素朴で良ければ、 $f(x)=\tan x$ を微分して $f^{(n)}(0)$ を求めていけば OK -- でもこれを十進 BASIC で実行するのは至難の技)。 ここでは『関数論1』で学ぶ事項を利用して計算する方法を考えてみます。

$\cos z$ , $\sin z$ は $\C$ 全体で正則で、 $\cos z\ne 0$ ($\vert z\vert<\pi/2$ ) であるから、

$$F(z):=\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}$$

は $\vert z\vert<\dfrac{\pi}{2}$ で正則であり、

$$F(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$$   $$\mbox{($\vert z\vert<\dfrac{\pi}{2}$)}$$

と Taylor 展開が出来るはずである。 これを求める ($n$ が小さい方から $c_n$ の値をいくつか求める) ことを考えよう。

証明. $g(z)=f(z)F(z)$ であるから、 絶対収束級数について成り立つ公式

$$\left(A_0+A_1+A_2+\cdots\right) \left(B_0+B_1+B_2+\cdots\right) = A_0B_0+(A_0B_1+A_1B_0)+(A_0B_2+A_1B_1+A_2B_0)+\cdots$$

すなわち

$$\left(\dsp\sum_{n=0}^\infty A_n\right) \left(\dsp\sum_{n=0}^\infty B_n\right)=\dsp\sum_{n=0}^\infty \left(\dsp\sum_{k=0}^n A_k B_{n-k}\right)$$

から、

$$f(z)F(z) =\left(\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\right) \left(\sum_{n=0... ...fty c_nz^n\right) =\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k=0}^n a_k c_{n-k}\right)z^n.$$

これが $g(z)=\dsp\sum_{n=0}^\infty b_n z^n$ と等しいので、 係数を比較して、

$$b_0 =a_0 c_0,$$

$$b_1 =a_0 c_1+a_1 c_0,$$

$$b_2 =a_0 c_2+a_1 c_1+a_2c_0,$$

$$\vdots \qquad\qquad\vdots$$

$$b_n =a_0 c_n+\sum_{k=1}^n a_kc_{n-k} \mbox{($n\in\N$)}$$

が得られるから、上から

$$c_0=\frac{b_0}{a_0},\quad c_1=\frac{b_1-a_1c_0}{a_0},\quad c_2=... ...2c_0}{a_0},\quad \cdots,\quad c_n=\frac{b_n-\dsp\sum_{k=1}^n a_kc_{n-k}}{a_0}$$   $$\mbox{($n\in\N$)}$$$$. \qed$$

$\qedsymbol$

次の問に答えよ。

上の公式 (1) と、 $\cos$ , $\sin$ の 0 のまわりの Taylor 展開

$$\cos z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n},\quad \sin z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}$$   $$\mbox{($z\in\C$)}$$

を用いて、$\tan z$ の 0 のまわりの Taylor 展開を $10$ 次の項まで求めよ。

• 十進BASICで有理数計算をするには、 プログラムの先頭付近で OPTION ARITHMETIC RATIONAL と宣言する。
• $\cos$ , $\sin$ の Taylor 展開の係数は漸化式で計算するのが簡単だが (これについては次回以降詳しく解説する予定)、 冪乗演算子 ^ や、 階乗を計算する関数 FACT() を用いても良い。
• 検算用に
  $$\tan z=z+\frac{1}{3}z^3+\frac{2}{15}z^5+\frac{17}{315}z^7+\cdots$$
  を掲げておく。
• $\tan z$ は奇関数なので、偶数次の項は現れない。 このことを用いると多少効率が上がるが、それはしてもしなくても良い。