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1.4 和 $ \sum$ の計算

一見漸化式と関係なさそうでも、 漸化式を用いて計算すると便利というものが結構あります。

例えば数列 $ \{a_j\}$ の第$ 1$ 項から第$ n$ 項までの和 $ s=
\dsp\sum_{j=1}^n a_j$ は、部分和

$\displaystyle s_j:=\sum_{k=1}^j a_k
$

を導入すると、数列 $ \{s_j\}$ の第 $ n$ 項である、 すなわち $ s=s_n$ ですが、$ \{s_j\}$

$\displaystyle s_1=a_1,\quad s_{j}=s_{j-1}+a_{j}$   $\displaystyle \mbox{($j\ge 2$)}$

あるいは

$\displaystyle s_0=0,\quad s_{j}=s_{j-1}+a_{j}$   $\displaystyle \mbox{($j\ge 1$)}$

という漸化式で定義することができます。 例えば
$ \sum_{j=1}^n a_j$ の計算
s=0
for j=1 to n
    s=s+($ a_j$ を計算する式)
next j
print s
のようなコード3$ s_n$ が計算できます。

suaresum.BAS
REM squaresum.BAS
REM 自然数の平方の和
INPUT PROMPT "Nを入力してください:": N
S=0
FOR J=1 to N
  S=S+J^2
NEXT J
PRINT S
REM 知っている公式で値を計算して確認
PRINT N*(N+1)*(2*N+1)/6
END


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桂田 祐史
2013-05-22