D..6.1 Mathematicaでやってみる

Lagrangeの未定乗数法の典型的な問題。

In[1] := g[x_,y_]:=x^2+2x y+3y^2-4
In[2] := Ng=ContourPlot[g[x,y]==0,{x,-3,3},{y,-3,3},ContourStyle->Green]

これで $N_g:=\{(x,y)\in\R^2; g(x,y)=0\}$ が楕円であることが分かる (もちろん判別式 $D$ の符号を $D/4=1^2-1\cdot 3=-2<0$ と調べても良い)。

図 29: $g(x,y)=0$ (緑) と $f$ の等高線 (青) と極値点 (赤)

$\nabla g\ne 0$ on $N_g$ が分かるので (省略する)、 極値点は Lagrange の未定乗数法で見つかるはずである。 そこで未定乗数法で極値点の候補を求め、それらの点における $f$ の値を計算する。

	
In[3] := f[x_,y_]:=x^2+y^2
In[4] := s=Solve[{D[f[x,y]-L g[x,y],{{x,y}}]=={0,0}, g[x,y]==0},{x,y,L}]
In[5] := f[x,y]/.s

$\nabla f(x,y)=\lambda\nabla g(x,y)$, $g(x,y)=0$ の解は

$$(x,y,\lambda) = \left(-1-\sqrt{2},1,1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right), \left( 1-\sqrt{2},-1,1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right),$$

$$\quad\left(-1+\sqrt{2},1,1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right), \left( 1+\sqrt{2},-1,1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right).$$

これら極値点の候補での $f$ の値は

$$f\left(-1-\sqrt{2},1\right)=4+2\sqrt{2},\quad f\left( 1-\sqrt{2},-1\right)=4-2\sqrt{2},$$

$$f\left(-1+\sqrt{2},1\right)=4-2\sqrt{2},\quad f\left( 1+\sqrt{2},-1\right)=4+2\sqrt{2}.$$

ゆえに $(x,y)=\pm(1+\sqrt{2},-1)$ のとき最大値 $4+2\sqrt{2}$, $(x,y)=\pm(-1+\sqrt{2},1)$ のとき最小値 $4-2\sqrt{2}$ を取る。

	
In[6] := fc=ContourPlot[f[x,y],{x,-3,3},{y,-3,3},
              ContourShading->False,ContourStyle->Blue,
              Contours->Table[4+2Sqrt[2]/4*i,{i,-8,8}]]
In[7] := sp = ListPlot[{x,y} /. s, PlotStyle->Red]
In[8] := gr=Show[fc,Ng,sp]