3 レポート課題10

• Oh-o! Meiji を使ってレポートを提出せよ。 締め切りは7月16日(火曜)18:00とする (締切りはかなり先です。あわてずにやって下さい。)。
• Mathematica に与えたコマンドと計算結果、その説明を TEX で書き、 PDFファイル (名前は kadai10.pdf とする) を提出する。
• 計算の仕方を工夫すること (関数を作ったり、Table[] を使ったり…)。
• (繰り返し) 結果が複雑な場合は、簡単化を試みること。
• (繰り返し) 検算が可能な問題については、検算もすること。 -- 時間に余裕が生じた場合は、ここを頑張ること。 コンピューターを使う場合、筆算ではできないような検算も可能になる。

(1)

Mathematica に、 $\cos\dfrac{2\pi}{n}$ ( $n=1,2,\dots,20$ ) を計算させなさい。 (結果を見て納得が行きますか?)

(2)

$$\sum_{k=1}^3\frac{1}{2^k}$$ , $$\sum_{k=1}^5\frac{1}{2^k}$$ , $$\sum_{k=1}^{10}\frac{1}{2^k}$$ , $$\sum_{k=1}^{50}\frac{1}{2^k}$$ を計算せよ (なるべくユーザー定義関数を使うこと)。 また、それらの値を正確に小数に直せ (十進法では有限小数というのはすぐ分かりますね？)。

(3)

与えられた $\alpha>0$ に対して、 $\sqrt{\alpha}$ の近似値を求めるために Newton 法

$$\mbox{$x_1$ は適当に与える} ,$$

$$x_n= x_{n-1}-\frac{x_{n-1}^2-\alpha}{2 x_{n-1}} =\frac{1}{2}\left(x_{n-1}+\frac{\alpha}{x_{n-1}}\right) \mbox{($n=2,3,\cdots$)}$$

が利用できる¹。 実際にこれを用いて $\sqrt{3}$ , $\sqrt{21}$ の近似値を求めよ。 やはり計算の仕方を工夫すること。 また得られた結果の精度についても検討せよ。

(4)

次のどちらか一方を解け。

(a)

図1を再現せよ。(色々な描き方があります。 楕円面と平面は別々に描いてから合成出来ることを知っておくと、 自由度が上がるかも。)

(b)

円錐を描け。 ただし Mathematica の命令 Cone[] は使わないでやること。

(注意     3次元グラフィックスは、EPS形式で出力すると、 ファイル・サイズが非常に大きくなり、 TEX 文書に取り込めなかったり、 Oh-o! Meiji にアップロード出来なくなったりするので、 一度 JPEG 形式で出力してから、 jpeg2ps で EPS 形式に変換することを勧めます。)

図: $\dfrac{(x+1)^2}{1}+\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{(z-1)^2}{9}=1$ と 接平面 $x+y+z=\pm \sqrt {14}$ (訂正しました)

図1の描き方のヒント: 球面を描く例は解説文書の中にある (そこではパラメーター曲面としてだったけれど、 レベル・セット (等値面) としても描画可能)。 それを少し修正すれば $(x+1)^2/1+y^2/4+(z-1))^2/9=1$ を描くのは簡単である。 一方で平面を描くのも簡単 (グラフとして描いたり、 やはりレベル・セット (等値面) としても描画可能)。 同時に描ければ良いけれど、 それは簡単ではないかもしれない。 そういう困難を解決する手段が、 別々に描いておいたものをまとめて表示する Show[] です。

• グラフィックス・オブジェクトは、変数に代入しておくのが良い。

    g1=Plot3D[...]
    g2=...
    ...
    g=Show[g1,g2]
  

• グラフィックスのオプション、 例えば BoxRatios や PlotRange などを適切に設定する。 (「2変数関数のグラフ」, 「グラフィックス・オブジェクト, Show[] などを見よ。)
• グラフィックスは Export[ ] コマンドで保存できる。 2013年度の情報処理教室の環境では、特に指定しないと ドキュメント に保存される。 フォーマットはファイル名末尾の拡張子で自動的に選ばれる。

    Export["kadai10graph.eps", g]
  

  ドキュメントの下の syori2 フォルダーに保存するのならば

    Export["syori2/kadai10graph.eps", g]
  

  のように指定すれば良い。
• グラフィックスを PostScript フォーマットで出力した場合、 サイズが大きくなることがある (その結果 Oh-o! Meiji のレポート提出システムにはねられることがある)。 その場合は (姑息な手段かもしれないが) JPEG で出力して、 それから PostScript に変換するのが良い。

    Export["syori2/kadai10graph.jpg", g]
  

  コマンドプロンプトにて JPEG から PostScript に変換

  Z:￥.windows2000￥syori2> jpeg2ps kadai10graph.jpg > kadai10graph.eps
  (jpeg2ps コマンドは Windows 標準のコマンドではないが、 2013年度情報処理教室の環境には用意されている。)

• (おまけ) L^ATEX に取り込むには、

    \usepackage[dvips]{graphicx}% もしかすると dvips は dvipdfm が良いかも。
     ...
    \begin{document}
     ...
    \includegraphics[width=10cm]{kadai10graph.eps}