A..2.4.1 ラマヌジャン型公式

不思議な天才 Ramanujan (Srinivasa Aiyangar Ramanujan, 1887-1920, インドの Erode に生まれ、インドの Kumbakonam にて没する) が発見した

$$\frac{1}{\pi} =\frac{\sqrt{8}}{9801} \sum_{n=0}^\infty\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^4\cdot 396^{4n}}$$

$$= \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum_{n=0}^p \left( \prod_{k=1}^n \frac{(2k-1)(4k-3)(4k-1)}{2k^3 198^4} \right) (26390 n+1103).$$

や、その系統の公式がいくつかあります。

Chudnovsky の公式 (現在最高速？)

$$\frac{1}{\pi}= \frac{12}{640320^{3/2}} \sum_{n=0}^p \left( \p... ...ac{(2k-1)(6k-5)(6k-1)}{9k^3 106720^3} \right) (-1)^n (545140134n+13591409).$$