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A..1.2 円の面積、球の表面積・体積

円周と直径の比として定義されたので、

「半径 $ r$ の円の円周は $ 2\pi r$
は当たり前ですが、
「半径 $ r$ の円の面積は $ \pi r^2$
は、全然当たり前ではありません。 事実そのものは早くから知られていたと思われますが、 初めて証明をしたのはアルキメデスと言われています5(ちなみにアルキメデスは、 球の表面積 $ 4\pi r^2$ と体積 $ 4\pi r^3/3$ を発見し、 そのことを証明したことで非常に名高い)。


余談になりますが、 円周、円の面積、球の表面積、球の体積の いずれにも $ \pi $ が ($ \pi^2$ , $ \pi^3$ でなく) 生で現れるのは、 不思議と言えば不思議です (2年生は、 後期に一般の $ n$ 次元球の「体積」や「表面積」を学ぶ機会がありますが、 そのときにどうなるか、目を凝らして見て下さい)。


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桂田 祐史
2013-06-12