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D..6.1 Mathematicaでやってみる

Lagrangeの未定乗数法の典型的な問題。
In[1] := g[x_,y_]:=x^2+2x y+3y^2-4
In[2] := Ng=ContourPlot[g[x,y]==0,{x,-3,3},{y,-3,3},ContourStyle->Green]
これで $ N_g:=\{(x,y)\in\R^2; g(x,y)=0\}$ が楕円であることが分かる (もちろん判別式 $ D$ の符号を $ D/4=1^2-1\cdot 3=-2<0$ と調べても良い)。

図 17: $ g(x,y)=0$ (緑) と $ f$ の等高線 (青) と極値点 (赤)
\includegraphics[width=10cm]{eps/problem6.eps}

$ \nabla g\ne 0$ on $ N_g$ が分かるので (省略する)、 極値点は Lagrange の未定乗数法で見つかるはずである。 そこで未定乗数法で極値点の候補を求め、それらの点における $ f$ の値を計算する。

	
In[3] := f[x_,y_]:=x^2+y^2
In[4] := s=Solve[{D[f[x,y]-L g[x,y],{{x,y}}]=={0,0}, g[x,y]==0},{x,y,L}]
In[5] := f[x,y]/.s

$ \nabla f(x,y)=\lambda\nabla g(x,y)$ , $ g(x,y)=0$ の解は

$\displaystyle (x,y,\lambda)$ $\displaystyle = \left(-1-\sqrt{2},1,1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right), \left( 1-\sqrt{2},-1,1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right),$    
  $\displaystyle \quad\left(-1+\sqrt{2},1,1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right), \left( 1+\sqrt{2},-1,1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right).$    

これら極値点の候補での $ f$ の値は

  $\displaystyle f\left(-1-\sqrt{2},1\right)=4+2\sqrt{2},\quad f\left( 1-\sqrt{2},-1\right)=4-2\sqrt{2},$    
  $\displaystyle f\left(-1+\sqrt{2},1\right)=4-2\sqrt{2},\quad f\left( 1+\sqrt{2},-1\right)=4+2\sqrt{2}.$    

ゆえに $ (x,y)=\pm(1+\sqrt{2},-1)$ のとき最大値 $ 4+2\sqrt{2}$ , $ (x,y)=\pm(-1+\sqrt{2},1)$ のとき最小値 $ 4-2\sqrt{2}$ を取る。

	
In[6] := fc=ContourPlot[f[x,y],{x,-3,3},{y,-3,3},
              ContourShading->False,ContourStyle->Blue,
              Contours->Table[4+2Sqrt[2]/4*i,{i,-8,8}]]
In[7] := sp = ListPlot[{x,y} /. s, PlotStyle->Red]
In[8] := gr=Show[fc,Ng,sp]


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桂田 祐史
2013-04-09