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D..3 問題3

$ C^\infty$ 級の $ f\colon\R^3\ni(x,y,z)\mapsto
f(x,y,z)\in\R$ と、 $ \vec a=(a,b,c)$ , $ \vec h=(p,q,r)\in\R^3$ に対して

$\displaystyle F(t):=f(\vec a+t\vec h)=f(a+t p,b+t q, c+t r)$   ($ t\in\R$ )

とおくとき、以下の問に答えよ。
(1)
$ F'(t)$ , $ F''(t)$ を計算せよ ($ f$ を使って表せ)。
(2)
自然数 $ m$ に対して $ F^{(m)}(t)$ $ f$ を用いて表す式を推定し、 帰納法を用いて証明せよ。


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桂田 祐史
2013-04-09