D..3 問題3

$C^\infty$ 級の $f\colon\R^3\ni(x,y,z)\mapsto f(x,y,z)\in\R$ と、 $\vec a=(a,b,c)$ , $\vec h=(p,q,r)\in\R^3$ に対して

$$F(t):=f(\vec a+t\vec h)=f(a+t p,b+t q, c+t r)$$   ($t\in\R$ )

とおくとき、以下の問に答えよ。

(1)

$F'(t)$ , $F''(t)$ を計算せよ ($f$ を使って表せ)。

(2)

自然数 $m$ に対して $F^{(m)}(t)$ を $f$ を用いて表す式を推定し、 帰納法を用いて証明せよ。