D..9 追加の問題3

$C^2$ 級の関数 $u\colon\R^2\ni(x,t)\mapsto u(x,t)\in\R$ と正定数 $c$ があるとき、

$$\xi=x-ct,\quad \eta=x+c t,\quad v(\xi,\eta)=u(x,t),$$   すなわち$$\quad v(\xi,\eta):=u\left(\frac{\xi+\eta}{2},\frac{\eta-\xi}{2c}\right)$$

とおくとき、 $\dfrac{1}{c^2}u_{tt}-u_{xx}$ を $v$ の偏導関数を用いて表せ。