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4 レポート課題9

(1)
Mathematica に、 $ \cos\dfrac{2\pi}{n}$ ( $ n=1,2,\dots,20$ ) を計算させなさい。 (結果を見て納得が行きますか?)
(2)
$ \displaystyle\sum_{k=1}^3\frac{1}{2^k}$ , $ \displaystyle\sum_{k=1}^5\frac{1}{2^k}$ , $ \displaystyle\sum_{k=1}^{10}\frac{1}{2^k}$ , $ \displaystyle\sum_{k=1}^{50}\frac{1}{2^k}$ を計算せよ (なるべくユーザー定義関数を使うこと)。 また、それらの値を正確に小数に直せ (十進法では有限小数というのはすぐ分かりますね?)。
(3)
与えられた $ \alpha>0$ に対して、 $ \sqrt{\alpha}$ の近似値を求めるために Newton 法

      $\displaystyle \mbox{$x_1$ は適当に与える}$$\displaystyle ,$
      $\displaystyle x_n= x_{n-1}-\frac{x_{n-1}^2-\alpha}{2 x_{n-1}} =\frac{1}{2}\left(x_{n-1}+\frac{\alpha}{x_{n-1}}\right)$   $\displaystyle \mbox{($n=2,3,\cdots$)}$

が利用できる1。 実際にこれを用いて $ \sqrt{3}$ , $ \sqrt{21}$ の近似値を求めよ。 やはり計算の仕方を工夫すること。 また得られた結果の精度についても検討せよ。
(4)
次のどちらか一方を解け。
(a)
図1を再現せよ。(色々な描き方があります。 楕円面と平面は別々に描いてから合成出来ることを知っておくと、 自由度が上がるかも。)
(b)
円錐を描け。
(注意     3次元グラフィックスは、EPS形式で出力すると、 ファイル・サイズが非常に大きくなり、 TEX 文書に取り込めなかったり、 Oh-o! Meiji にアップロード出来なくなったりするので、 一度 JPEG 形式で出力してから、 jpeg2ps で EPS 形式に変換することを勧めます。)

図: $ \dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{3}+\dfrac{z^2}{4}=1$ と 接平面 $ x+y+z=\pm 3$
\includegraphics[height=10cm]{eps/graph2.eps}

図1の描き方のヒント: 球面を描く例は解説文書の中にある (そこではパラメーター曲面としてだったけれど、 レベル・セット (等値面) としても描画可能)。 それを少し修正すれば $ x^2/2+y^2/3+z^2/4=1$ を描くのは簡単である。 一方で平面を描くのも簡単 (グラフとして描いたり、 やはりレベル・セット (等値面) としても描画可能)。 同時に描ければ良いけれど、 それは簡単ではないかもしれない。 そういう困難を解決する手段が、 別々に描いておいたものをまとめて表示する Show[] です。

補足 (2012/6/27)


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桂田 祐史
2012-06-27