3 レポート課題8

(今日 (6月6日) は、 『Mathematica入門』 の 4, 5 節を説明する予定です。 このレポート課題 8 を解くために必要なことは、 そこに説明されています。 『Mathematica入門』では色々な計算をさせていますが、 なぜそういう結果になるか考えて (場合によっては計算前に結果を予想して)、 なるべくそれを自分の目の前のコンピューターで再現して下さい。)

以下の問題 (1)〜 (6) を Mathematica を用いて解いて、 レポートせよ。

• 提出先は、 SNSトピック「第8回(2012/6/6)」 です。 締め切りは6月19日 (火曜), 18:00 です。
• 実際の計算の様子が分かるように、 ノートブックを [ファイル] 欄に添付すること。 ノートブックの名前は、``kadai8.nb'' にすること。
• ノートブックの保存については、 「レポート提出用のノートブックを作る」 を参考にして下さい。
  今の Mathematica は「LaTeXドキュメント」で保存する機能があるので、 L^ATEX で計算結果も含めた PDF ドキュメント kadai8.pdf を作成することも可能である。 余裕があればそれにチャレンジしてみること (ボーナス点を与える)。
• 計算問題の答を可能な限り本文に書くこと (なるべく A 「数学SNSで TEX 画像を使う」 を見て、 TEX 画像の利用に挑戦して下さい -- TEX 画像使えれば (4) の後半以外は楽勝のはず, (4) の後半は「kadai8.nbを参照して下さい」で構いません)。
• 計算結果が複雑な場合は、簡単化 (例えば Simplify[]) を試みること。
• 変数に以前計算した値が残っていて、 期待する結果が得られないことが時々あります。 Clear[] や Remove[] を用いて、 古い記憶を消去すると良いでしょう (Clear[a,b] のように使います)。
• 検算が可能な問題については、検算もすること。 -- 時間に余裕が生じた場合は、ここを頑張ること。

(1)

$661775625$ を素因数分解せよ。

(2)

$2^{15}-1$ と $2^{20}-1$ の最大公約数を求めよ。

(3)

$(a+b)^5$ の展開公式を作れ。

(4)

$2$ 次方程式 $x^2+a x+b=0$ を解け。 $3$ 次方程式 $x^3+p x+q=0$ を解け。

(5)

次の関数を微分せよ。 (i) $x^2\sqrt{x}+(x^3-x)\sqrt{x^2+x+1}$      (ii) $$\sqrt{\frac{1+x^2}{1-x^2}}$$

(6)

(i) $$\int_0^1\frac{1}{(x-2)^5} \D x$$      (ii) $$\int_0^\pi\frac{1}{2+\cos x} \D x$$

(余談) (4) で3次方程式を $x^3+a x^2+b x+c=0$ と していないのは、結果が複雑過ぎるからです (一度試してみましょう)。 簡単な変数変換 (カルダノ変換という) で、 2次の係数が 0 の方程式 $x^3+p x+q=0$ に変換されるので、 それを解ければ良いことになります。

よくある間違い     例えば $b x$ は、bx でなく (これでは一つの名前になってしまう)、 掛け算演算子 * を使って b*x、 あるいはブランクを入れて b x とする。