1.3 コンピューターで「解く」とは

コンピューターで方程式を扱う場合、 コンピューターならではのやり方があります。 有限回の計算で真の解 (無限精度の解, 「厳密解」 (exact solution) とも呼ばれる) を求めることはあきらめて、 真の解を求めるには無限回の演算が必要になるけれど、 有限の要求精度を持つ近似解は、そこそこの回数の基本的な演算 (四則演算) で求まるような方法を採用する、 というものです。 従って、アルゴリズムは大抵の場合、 繰り返しのあるもの -- 反復法 -- になります。

コンピューターによる方程式の数値解法は「繰り返し」が鍵

1. 線型方程式 (1次方程式) でも、 未知関数の個数 $N$ が非常に大きい問題の解法には、反復計算が使われます。
   例えば $N=10^8$ (原子炉圧力容器の構造計算とか⁴) のとき、消去法計算は無理です。
2. 非線型方程式の場合、 問題の自由度が低くても反復計算になる場合がほとんどです。
   1. 有限回の四則では exact (厳密) に解けない問題がほとんど。
   2. 「反復法」で多くの問題が解ける。
      すなわち、真の解 $x^*$ をある列 $\{x_n\}$ の極限としてとらえ ( $\dsp\lim_{n\to\infty}x_n=x^*$ )、 十分大きな $n$ に対して $x_n$ を $x^*$ の近似として採用する。近似解ではあるが、 コンピューターで数値計算する限り、 有限精度であることは避けられないので、 exact な方法 (もしそれがあったとして) とほとんど差がない⁵。

厳密解の「厳密」は、論理的に厳密というのとは関係がなくて、 論理的に厳密であることと、近似解であることは相反するものではない、 という言い方も出来るでしょう。