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8.2 数学を少し

$ \R^n$ 内の (パラメーター) 曲線とは、 $ \R$ の閉区間 $ I=[a,b]$ から $ \R^n$ への連続写像 $ \varphi\colon I
\to\R^n$ として定義するのが「普通」である。 $ n=2$ の場合は ParametricPlot[] で、 $ n=3$ の場合は ParametricPlot3D[] で描くことが出来る。

平面曲線は、パラメーター曲線として表す以外に、

(i)
$ 1$変数関数のグラフ

$\displaystyle y=f(x)$   $\displaystyle \mbox{($x\in I$)}$   つまり$\displaystyle \quad
\{(x,f(x)); x\in I\}.
$

(ii)
$ 2$ 変数関数の零点集合

$\displaystyle f(x,y)=0$   $\displaystyle \mbox{($(x,y)\in \Omega$)}$   つまり$\displaystyle \quad
\{(x,y)\in\Omega; f(x,y)=0\}.
$

あるいはより一般にレベルセット $ f(x,y)=L$.

例えば双曲線

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
$

は「2変数関数のレベルセット」として表現してあるが、これを

$\displaystyle y=\pm b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}$   $\displaystyle \mbox{($\vert x\vert>a$)}$

とすると「1変数関数のグラフ」による表現になるし、

$\displaystyle \left\{
\begin{array}{ll}
x=\pm a\cosh t\\
y=b\sinh t
\end{array}\right.$   $\displaystyle \mbox{($t\in\R$)}$

のような「パラメーター曲線」による表現が得られる。 それぞれ ContourPlot[], Plot[], ParametricPlot[] で描画できる。

同様に、$ \R^3$ 内の曲面を表すためには、次の方法がある。

(a)
パラメーター曲面

$\displaystyle x=\varphi_1(u,v),\quad y=\varphi_2(u,v),\quad z=\varphi_3(u,v)$   $\displaystyle \mbox{($(u,v)\in D\subset \R^2$)}$

(b)
2変数関数のグラフ

$\displaystyle z=f(x,y)$   $\displaystyle \mbox{($(x,y)\in D$)}$   つまり$\displaystyle \quad
\{(x,y,f(x,y)); (x,y)\in D\}.
$

(c)
3変数関数の零点集合

$\displaystyle f(x,y,z)=0$   つまり$\displaystyle \quad \{(x,y,z)\in\Omega; f(x,y,z)=0\}.
$

(a) は ParametricPlot3D[] で、 (b) は Plot3D[] で描くことができるわけである。


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Masashi Katsurada
平成23年7月19日