3.4 $\tan^{-1}x$ ($\arctan x$) のテイラー級数で $\pi$ を計算しよう

円周率 $\pi$ は、例えば

$$\pi =4\arctan 1 ,$$

$$\pi =6\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}$$

のように $\arctan$ を計算することで求められます。

テイラー級数の計算では、 級数の一般項の計算に漸化式を用いるのが便利なことが多いです (実はこの $\arctan$ については「それほど便利でもない」かもしれませんが、 漸化式が便利なことが多いので (例えば $\exp x$ の計算を考えてみて下さい)、ここではその線で説明します ²)。

$$\arctan x=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}x^{2n-1} =\lim_{n\to\infty}\sum_{j=0}^n \frac{(-1)^{j-1}}{2j-1}x^{2j-1}$$

については、

$$a_j=\frac{(-1)^{j-1}}{2j-1}x^{2j-1}$$

そのものの漸化式はあまり計算に便利ではありませんが、

$$t_j=(-1)^{j-1}x^{2j-1}$$

とおくと、$t_j$ は簡単な漸化式

$$t_1=x,\quad t_{j}=- x^2 t_{j-1}$$

を用いて計算でき、$a_j$ は

$$a_j=\frac{t_j}{2j-1}$$

で計算できます。 そこで次のようなプログラムを得られます。

piarctan.bas

REM piarctan.BAS --- マーダヴァ・グレゴリー・ライプニッツ級数でπを計算
REM arctan x の級数を第 n 項まで計算
INPUT X
INPUT N
F=-X*X
T=X
S=0
FOR J=1 TO N
  A=T/(2*J-1)
  S=S+A
  T=F*T
NEXT J
PRINT "arctan(x)≒";S
PRINT "その4倍";4*S
REM 組込み定数 PI との差を計算してみる
PRINT USING "πとの差=-%.###^^^^^^";4*S-PI
END

これを用いて

$$\pi=4\arctan 1=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots\right)$$

という級数を 第 $n$ 項まで計算すると、 次のような結果が得られます。

$n$	$4 s_n$
$10$	$3.04183961\cdots$
$100$	$3.13159290\cdots$
$1000$	$3.1405926538\cdots$
極限	$3.1415926535\cdots$

$\pi=3.14159265358979323846\cdots$ との一致具合いはどうでしょうか？ (誤差³は どれくらいでしょうか) 不思議なことに気付いた人、 もしその理由が分かったら、 レポートを書いて送って下さい。