3.1 テイラー展開

関数 $f$ が点 $a$ の近傍で解析的であれば、

$$f(x) =\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n =f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+\cdots+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\cdots$$

が成り立つ (明治大学数学科学生は、 部分的には基礎数学4, 詳しくは関数論で学ぶ)。

これを関数値 $f(x)$ の計算に用いることがあります。 具体的には十分大きな $n$ に対して、$n$ 項までの部分和

$$s_n(x):=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$$   $$\mbox{(これは $x$ の多項式)}$$

を計算し、それを $f(x)$ の近似値に採用するわけです。