2 レポート課題10

(今日 (6月30日) は、 『Mathematica入門』 の 4, 5 節を説明する予定です。 このレポート課題 10 を解くために必要なことは、 そこに説明されています。 『Mathematica入門』では色々な計算をさせていますが、 なぜそういう結果になるか考えて (場合によっては計算前に結果を予想して)、 なるべくそれを自分の目の前のコンピューターで再現して下さい。)

以下の問題 (1)〜 (6) を Mathematica を用いて解いて、 レポートせよ。

• 提出先は、 SNSトピック「レポート課題10」 です。 締め切りは7月6日 (火曜), 21:00 です。 -- 7月13日に変更します！
• 計算問題の答を可能な限り本文に書くこと (なるべく TEX 画像の利用に挑戦して下さい -- TEX 画像使えれば (4) の後半以外は楽勝のはず, (4) の後半は「kadai10.nbを参照して下さい」で構いません)。 実際の計算の様子が分かるように、 ノートブックを [ファイル] 欄に添付すること。 ノートブックの名前は、``kadai10.nb'' にすること。
• 計算結果が複雑な場合は、簡単化 (例えば Simplify[]) を試みること。
• 検算が可能な問題については、検算もすること。 -- 時間に余裕が生じた場合は、ここを頑張ること。

(1)

$661775625$ を素因数分解せよ。

(2)

$2^{15}-1$ と $2^{20}-1$ の最大公約数を求めよ。

(3)

$(a+b)^5$ の展開公式を作れ。

(4)

$2$ 次方程式 $x^2+a x+b=0$ を解け。 $3$ 次方程式 $x^3+a x^2+b x+c=0$ を解け。

(5)

次の関数を微分せよ。 (i) $x^2¥sqrt{x}+(x^3-x)¥sqrt{x^2+x+1}$      (ii) $¥displaystyle¥sqrt{¥frac{1+x^2}{1-x^2}}$

(6)

(i) $¥displaystyle¥int_0^1¥frac{1}{(x-2)^5} ¥D x$      (ii) $¥displaystyle¥int_0^¥pi¥frac{1}{2+¥cos x} ¥D x$

よくある間違い     例えば $b x$ は、bx でなく (これでは一つの名前になってしまう)、 掛け算演算子 * を使って b*x、 あるいはブランクを入れて b x とする。

余裕があれば次の二つも解いてみよう (これらは次回の課題にするつもり)。

(おまけ7)

$¥displaystyle¥sum_{k=1}^3¥frac{1}{2^k}$, $¥displaystyle¥sum_{k=1}^5¥frac{1}{2^k}$, $¥displaystyle¥sum_{k=1}^{10}¥frac{1}{2^k}$, $¥displaystyle¥sum_{k=1}^{50}¥frac{1}{2^k}$ を計算せよ。また、それらの値を正確に小数に直せ。

(おまけ8)

$¥alpha>0$ に対して $¥sqrt{¥alpha}$ を求めるために Newton 法による漸化式

$¥displaystyle x_n= ¥alpha-¥frac{x_{n-1}^2-¥alpha}{2 x_{n-1}} =¥frac{1}{2}¥left(x_{n-1}+¥frac{¥alpha}{x_{n-1}}¥right)$   $¥displaystyle ¥mbox{($n=2,3,¥cdots$)}$

が利用できるわけだが、 これを用いて $¥sqrt{3}$, $¥sqrt{21}$ の近似値を求めよ。 また得られた結果の精度についても検討せよ。

ヒント: (おまけ7), (おまけ8) は、 自分で関数を定義したり、リストを使ったり工夫をすると、 とても簡単に計算できます (そこがねらいなのですが、 素朴にやっても手で計算するよりはずっと楽に正確に計算できるはずで、 試してみるのは良いことです)。