A..3 AGM (算術幾何平均) を用いる方法

(準備中 -- この項書きかけ)

1976 年、$\pi$ の計算法の歴史の新しい1ページが開かれた。

E.Salamin と R.P.Brent により独立に次の手順が「発掘」された。

Salamin-Brent のアルゴリズム (別名 Gauss-Legendre のアルゴリズム)

$a=1$, $b=1/\sqrt{2}$ として、

$$\left\{ \begin{array}{ll} a_0:=a,\quad b_0:=b, [0.5em] a_{n+1}... ...m] c_n:=\sqrt{a_n^2-b_n^2} & \quad\mbox{($n=0,1,2,\cdots$)} \end{array} \right.$$ (3)

で定義された数列を用いて

$$\pi_n:=\frac{2 a_{n+1}^2}{1-\dsp\sum_{k=0}^n 2^k c_k^2}$$

とおくとき、

$$\lim_{n\to\infty}\pi_n=\pi$$   (単調増加)$$.$$

これは無限級数でなく、 漸化式で定義された数列の極限として $\pi$ を とらえているわけだが、いわゆる $2$ 次の収束 (4) をするので非常に速く高精度の値が得られる。 収束の速さに関しては

$$\pi-\pi_{n+1}\le\frac{2^{-(n+1)}}{\pi^2}(\pi-\pi_n)^2 ,$$ (4)

$$\pi-\pi_n\le \pi^2 2^{n+4}e^{-\pi\cdot2^{n+1}}.$$