課題7の説明

桂田 祐史

Date: 2006年7月5日

課題7 の簡単な解説をします。

1. $661775625$ を素因数分解せよ。
   FactorInteger[661775625] というコマンドを入力すると、 {{3, 2}, {5, 4}, {7, 6}} という結果が得られる。 これは
   $$661775625=3^2\cdot 5^4\cdot 7^6$$
   ということを示している。実際、 3^2 5^4 7^6 と入力すると、確かに 661775625 という結果が得られる。
2. $2^{15}-1$ と $2^{20}-1$ の最大公約数を求めよ。
   GCD[2^15-1, 2^20-1] という コマンドを入力すると、31 という結果が得られる。 すなわち $2^{15}-1$ と $2^{20}-1$ の最大公約数は $31$ である。 実際、FactorInteger[] により得られる
   $$2^{15}-1=32767=7\cdot 31\cdot 151,\quad 2^{20-1}=1048575=3\cdot 5^2\cdot 11\cdot 31\cdot 41$$
   という結果からも確認できる (普通は素因数分解は大変なので、 いつもこのような方法で確認できるわけではないが…)。
3. $(a+b)^5$ の展開公式を作れ。
   Expand[(a+b)^5] というコマンドを入力すればよい。
   $$(a+b)^5=a^5+5 a^4 b+10 a^3b^2+10 a^2b^3+5 a b^4+b^5$$
   であることが分かる (これくらいはコンピューターのお世話にならなくても、 Pascal の三角形を書けば分かるでしょう)。
4. 2次方程式 $x^2 + a x +b=0$ を解け。
   Solve[x^2+a x+b==0, x] というコマンドを入力する。

   In[12]:= Solve[x^2+a x +b==0,x]
   
                              2                           2
                   -a - Sqrt[a  - 4 b]         -a + Sqrt[a  - 4 b]
   Out[12]= {{x -> -------------------}, {x -> -------------------}}
                            2                           2
   

   これは $x=\dfrac{-a\pm\sqrt{a^2-4 b}}{2}$ が解であることを示している (これは良く知っている公式から明らかでしょう)。
   

   3次方程式 $x^3 + a x^2 + b x +c=0$ を解け。
   Solve[x^3+a x^2+b x+c==0, x] というコマンドを入力する。 結果は非常に複雑である。
   

   $$x = \frac{-a}{3} - \frac{2^{\frac{1}{3}} \left( -a^2 + 3 b \right... ...\left( -2 a^3 + 9 a b - 27 c \right) }^2}} - 27 c \right) }^{\frac{1}{3}}}$$

   $$+ \frac{{\left( -2 a^3 + 9 a b + {\sqrt{4 {\left( -a^2 + 3 b... ...- 27 c \right) }^2}} - 27 c \right) }^{\frac{1}{3}}}{3\cdot 2^{\frac{1}{3}}},$$

   $$\frac{-a}{3} + \frac{\left( 1 + i {\sqrt{3}} \right) \left( ... ...\left( -2 a^3 + 9 a b - 27 c \right) }^2}} - 27 c \right) }^{\frac{1}{3}}}$$

   $$- \frac{\left( 1 - i {\sqrt{3}} \right) {\left( -2 a^3 + 9\... ...- 27 c \right) }^2}} - 27 c \right) }^{\frac{1}{3}}}{6\cdot 2^{\frac{1}{3}}},$$

   $$\frac{-a}{3} + \frac{\left( 1 - i {\sqrt{3}} \right) \left( ... ...\left( -2 a^3 + 9 a b - 27 c \right) }^2}} - 27 c \right) }^{\frac{1}{3}}}$$

   $$- \frac{\left( 1 + i {\sqrt{3}} \right) {\left( -2 a^3 + 9\... ...- 27 c \right) }^2}} - 27 c \right) }^{\frac{1}{3}}}{6\cdot 2^{\frac{1}{3}}}.$$

   
   (これはいわゆる Cardano の公式というやつで、 $1$ の原始3乗根である $\omega=(-1+\sqrt{3}i)/2$ を使うと、 もう少しきれいに書き直せるが、それにしても面倒である。)
5. 次の関数を微分せよ。
   (1) $x^2\sqrt{x}+(x^3-x)\sqrt{x^2+x+1}$ については、 D[x^2 Sqrt[x]+(x^3-x)Sqrt[x^2+x+1],x] とすると、
   $$\frac{5x^{3/2}}{2}+\sqrt{1+x+x^2}(3x^2-1) +\frac{(1+2x)(-x+x^3)}{2\sqrt{1+x+x^2}}$$
   が得られる。Simplyfy[%] とすると
   $$\frac{-2-3x+2x^2+7x^3+8x^4+5x^{3/2}\sqrt{1+x+x^2}}{2\sqrt{1+x+x^2}}$$
   となる。
   (2) $\dsp\sqrt{\dfrac{1+x^2}{1-x^2}}$ については、 D[Sqrt[(1+x^2)/(1-x^2)]] とすると、
   $$\frac{\dfrac{2x}{1-x^2} +\dfrac{2x (1+x^2)}{(1-x^2)^2}}{2\sqrt{\dfrac{1+x^2}{1-x^2}}}$$
   が得られる。Simplyfy[%] とすると
   $$\frac{-2x}{(x^2-1)^2 \sqrt{\dfrac{1+x^2}{1-x^2}}}$$
   となる。
6. (1) $\dsp\int_0^1 \frac{1}{(x-2)^5}\;\D x$ については、 Integrate[1/(x-2)^5,{x,0,1}] とすると、 $-\dfrac{15}{64}$ が得られる。
   (2) $\dsp\int_0^{\pi}\dfrac{1}{2+\cos x}\;\Dx$ については、 Integrate[1/(2+Cos[x]),{x,0,Pi}] とすると、 $\dfrac{\pi}{\sqrt{3}}$ が得られる。 (この辺になると、自分ではできない人も出て来るでしょうか…)