3 課題8

以下の問題を Mathematica を用いて解いて、レポートせよ。 Subject: は「レポート課題8」、 締め切りは7月14日とする。 Mathematica に与えたコマンドと結果 (この二つはノートブックを添付すると良い)、 その説明 (数式を書く必要がある場合は、例えば部分的に TEX を使って とか、 のように書いたりしてもよい。 もちろん説明全体を TEX で書けばなお良い。 ) の3点が必要。

1.

$$\sum_{k=1}^3\frac{1}{2^k}$$, $$\sum_{k=1}^5\frac{1}{2^k}$$, $$\sum_{k=1}^{10}\frac{1}{2^k}$$, $$\sum_{k=1}^{50}\frac{1}{2^k}$$ を計算せよ。また、それらの値を正確に小数に直せ。

2.

$\alpha>0$ に対して $\sqrt{\alpha}$ を求めるために Newton 法による漸化式

$$x_n= \alpha-\frac{x_{n-1}^2-\alpha}{2\alpha} =\frac{1}{2}... ...1}+\frac{\alpha}{x_{n-1}}\right) \quad\mbox{($n=2,3,\cdots$)}$$

が利用できるわけだが (初期値は $x_1=1$ で十分)、 これを用いて $\sqrt{3}$, $\sqrt{21}$ を計算せよ。 また精度についても検討せよ。

ヒント: この問題はなるべく自分で関数を定義したり、リストを使ったり、 工夫して解くこと。 (素朴にやっても手で計算するよりはずっと楽に正確に計算できるけれど)。

$\sqrt{3}$ の場合: 最初の 10 項とその2乗

Out[7]=
{1.0000000000000000000000000000000000000000000000000,
 2.0000000000000000000000000000000000000000000000000,
 1.7500000000000000000000000000000000000000000000000,
 1.7321428571428571428571428571428571428571428571429,
 1.7320508100147275405007363770250368188512518409426,
 1.7320508075688772952543539460721719142351067091198,
 1.7320508075688772935274463415058723678036950907820,
 1.7320508075688772935274463415058723669428052538104,
 1.7320508075688772935274463415058723669428052538104,
 1.7320508075688772935274463415058723669428052538104}

In[8]:= %*%

Out[8]=
{1.0000000000000000000000000000000000000000000000000,
 4.0000000000000000000000000000000000000000000000000,
 3.0625000000000000000000000000000000000000000000000,
 3.0003188775510204081632653061224489795918367346939,
 3.0000000084726737969074333952945616550371875820155,
 3.0000000000000000059821834221717890832802247230968,
 3.0000000000000000000000000000000000029822098747089,
 3.0000000000000000000000000000000000000000000000000,
 3.0000000000000000000000000000000000000000000000000,
 3.0000000000000000000000000000000000000000000000000}