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D..2 非線形方程式 -- なかなか難しい

$ f(x)$$ x$$ 1$ 次式では表わせないとき、非線形方程式と呼ばれる。 もっとも簡単な非線形方程式は、$ 2$ 次以上の$ 1$ 変数の代数方程式

$\displaystyle a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2 x^2+a_1 x+a_0=0$   $\displaystyle \mbox{($a_n\ne 0$)}$

であろう。 「$ n$ 次代数方程式は $ n$ 個の根を持つ」ことは常識として 知っているはず。 また、次数 $ n$$ 2$ の場合は「$ 2$次方程式」で、根の公式は中学 校で学んでいる (もうすぐ消えた?)。 さらに $ n$$ 3$, $ 4$ である場合も、 ($ 2$ 次方程式ほどポピュラーではないが) 根の公式 17がある。 ところが、「$ n$$ 5$ 以上の場合は、 四則とべき根のみを有限回用いた根の公式は存在しない」 ことが ガロアGalois 理論を用いて証明されている (3 or 4 年の代数学で習うはず)。

代数方程式でもこんな調子なのだから、 より一般の非線形方程式を簡単な式変形のみで解くことは、 よほど運が良くない限り駄目だ、ということになる。

研究課題3-2     $ 3$ 次代数方程式を解くための カルダノCardano の方法について調べ、 プログラムを書いて実験せよ。


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Masashi Katsurada
平成17年7月7日