3 レポート課題7

以下の問題を Mathematica を用いて解け¹。 Mathematica に与えたコマンドと結果 (これはなるべく²普通の数学の式で書く) をレポートせよ。

半分以上解くこと。締め切りは7月？日。

1. $661775625$ と素因数分解せよ。
2. $2^{15}-1$ と $2^{20}-1$ の最大公約数を求めよ。
3. $\dsp\sum_{k=1}^3\frac{1}{2^k}$, $\dsp\sum_{k=1}^5\frac{1}{2^k}$, $\dsp\sum_{k=1}^{10}\frac{1}{2^k}$, $\dsp\sum_{k=1}^{50}\frac{1}{2^k}$ を計算せよ。また、それらの値を小数にせよ。
4. $(a+b)^5$ の展開公式を作れ。
5. $2$ 次方程式 $x^2+a x+b=0$ を解け。 $3$ 次方程式 $x^3+a x^2+b x+c=0$ を解け。
6. 次の関数を微分せよ。 (1) $x^2\sqrt{x}+(x^3-x)\sqrt{x^2+x+1}$ (2) $\dsp\sqrt{\frac{1+x^2}{1-x^2}}$
7. (1) $\dsp\int_0^1\frac{1}{(x-2)^5} \D x$ (2) $\dsp\int_0^\pi\frac{1}{2+\cos x}\D x$
8. $\alpha>0$ に対して $\sqrt{\alpha}$ を求めるために Newton 法による漸化式
   
   $$x_n= \alpha-\frac{x_{n-1}^2-\alpha}{2\alpha} =\frac{1}{2}... ...1}+\frac{\alpha}{x_{n-1}}\right) \quad\mbox{($n=2,3,\cdots$)}$$
   
   
   が利用できるわけだが、これを用いて $\sqrt{3}$, $\sqrt{21}$ を計算せよ。 また精度についても検討せよ。