2 最初の例

$$A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2\ 2 & 3 \end{array} \ri... ...quad x=\left( \begin{array}{c} 1 \ -1 \end{array} \right)$$

に対して、 $b=A x$ を計算してから、 $A^{-1} b$ を計算し (もちろん $x$ と等しくなるはず)、 $A^{-1}$ を計算して、$A^{-1}A=I$ を確かめ、 最後に $A$ の固有値 $\lambda_1$, $\lambda_2$と、 $P^{-1}A P= \left( \begin{array}{cc} \lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2 \end{array}\right)$ となる $P$ を求める。

Octave のコマンド・メモ (1)

$A^{-1} b$ を計算する	a\b
$A^{-1}$ を計算する	inv(a)
$A$ の固有値を計算する	eig(a)
$A$ の固有値と固有ベクトルを計算する	[p lambda]=eig(a)
	p は固有ベクトルを並べた行列
Octave の終了	quit

samba03% octave
GNU Octave, version 2.0.17 (sparc-sun-solaris2.8).
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octave:1> a=[1,2;2,3]
a =

  1  2
  2  3

octave:2> x=[1;-1]
x =

   1
  -1

octave:3> b=a*x
b =

  -1
  -1

octave:4> a\b
ans =

   1
  -1

octave:5> inv(a)
ans =

  -3   2
   2  -1

ctave:6> inv(a)*a
ans =

  1  0
  0  1

octave:7> eig(a)
ans =

  -0.23607
   4.23607

octave:8> [p lambda]=eig(a)
p =

  -0.85065   0.52573
   0.52573   0.85065

lambda =

  -0.23607   0.00000
   0.00000   4.23607

octave:9> inv(p)*a*p
ans =

   -2.3607e-01   -3.4694e-16
   -4.4409e-16    4.2361e+00

octave:10> quit
Samba03%

最後の $P^{-1}A P$ の計算は、丸め誤差の影響で、完全な対角行列にはなっ ていない (が、誤差は $10^{-16}$ のオーダーで十分小さい)。