方程式が区間 $(0,1)$ にただ一つの解を持つことの証明

まず $f'(x)=-\sin x - 1\le 0$ ($x\in\R$) で、特に $x = \pi/2 + 2 n\pi$ ($n\in\Z$) 以外のところでは $f'(x) < 0$ であるから、 $f$ は狭義の単調減少関数である。 そして $f(0)=1>0$, $f(1)=\cos 1 - 1 < 0$ ゆえ、 方程式 $f(x)=0$ は区間 $(0,1)$ 内に少なくとも一つの解を持つが (中間値の 定理)、$f$ の単調性からそれは $\R$ 全体でただ一つの解であることが分かる。