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Newton 法の意味

Newton 法の式の意味を簡単に説明しよう。 微分の定義によると、$x$ が $a$ に十分近いところでは、 $f$ は「接線の式」で近似されることが期待される:

\begin{displaymath} f(x)\fallingdotseq f'(a)(x-a)+f(a). \end{displaymath}

今 $a$ が $f(x)=0$ の解に十分近いとすると、$f(x)=0$ の代わりに

\begin{displaymath} f'(a)(x-a)+f(a)=0 \end{displaymath}

を解くことにより、$a$ よりも精度の高い近似解が得られると考えるのは自 然であろう。実際に実行すると、まず移項して

\begin{displaymath} f'(a)(x-a)=-f(a). \end{displaymath}

両辺に $[f'(a)]^{-1}$ をかけて

\begin{displaymath} x-a=-[f'(a)]^{-1}f(a), \end{displaymath}

ゆえに

\begin{displaymath} x=a-[f'(a)]^{-1}f(a)=a-\frac{f(a).}{f'(a)}. \end{displaymath}

多変数の場合も、$[f'(a)]^{-1}$ を Jacobi 行列の逆行列と考えれば、まっ たく同様に Newton 法が使える。



Masashi Katsurada 平成13年6月28日