0.0.0.2 解答.

ともに $z=f(r)$, $r=\sqrt{x^2+y^2}$ の形をしているので、回転面である。 $y=0$ での切口 $z=x^2$, $z=1-x^2$ を描いてみると、

$$\Omega=\{(x,y,z); x^2+y^2\le z\le 1-x^2-y^2\}$$

であることが分かる。これは縦線集合である。すなわち

$$D:=\{(x,y); x^2+y^2\le 1-(x^2+y^2)\} =\left\{(x,y); x^2+y^2\le \frac{1}{2}\right\}.$$

とおくとき、$D$ で $x^2+y^2\le 1-(x^2+y^2)$ であり、

$$\Omega=\{(x,y,z); (x,y)\in D,\ x^2+y^2\le z\le 1-(x^2+y^2)\}.$$

ゆえに $\Omega$ の体積は

$$\mu_3(\Omega) =\tint_\Omega \DxDyDz =\dint_D\left(\int_{x^2+y^2}^{1-(x^2+y^2)}\Dz\right)\DxDy$$

$$=\dint_D\left[1-2(x^2+y^2)\right]\DxDy =\dint_{0\le r\le1/\sqrt{2}\atop 0\le\theta\le2\pi}(1-2r^2)\cdot r\;\D r\,\D\theta$$

$$=2\pi\int_0^{1/\sqrt{2}}(r-2r^3)\D r =2\pi\left[\frac{r^2}{2}-\fr... ...2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\right) =2\pi\cdot\frac{1}{8}=\frac{\pi}{4}. \qed$$