0.0.0.3 1の解答

$x=a r\cos\theta$, $y=b r\sin\theta$ ($r\ge 0$, $0\le\theta\le2\pi$) と変数変換する。

$$(x,y)\in\Omega \quad\LongIff\quad (x/a)^2+(y/b)^2\le 1\quad\LongIff\quad (r\cos\theta)^2+(r\sin\theta^2)\le1 \quad\LongIff\quad r\le 1.$$

(もう少していねいにやると、$r>0$ を $1$ つ固定したとき、 $\{(a r\cos\theta,b r \sin\theta); \theta\in[0,2\pi)\}$ は、 円 $x^2+y^2=a^2$ を $y$ 軸方向に $b/a$ 倍した (つぶした) 楕円、 つまり $x$ 軸との交点の座標 $(\pm ar,0)$, $y$ 軸との交点の座標 $(0,\pm br)$ である楕円である。$r$ を $0<r\le 1$ の範囲で動かすと、 $\Omega$ から原点を除いた部分 $\Omega'$ と 1対1に対応する。 つまり $D':=\{(r,\theta); 0<r\le 1,\theta\in[0,2\pi)\}$ は $\Omega':=\{(x,y); (x/a)^2+(y/b)^2\le 1,\ (x,y)\ne(0,0)\}$ と1対1に対応する。 定理 1.5.2 を使って厳密に議論するには、 集合 $N$ をどう取ればよいか？)

ゆえに $\Omega$ と対応するのは $D=\{(r,\theta);0\le r\le 1, \ 0\le\theta\le2\pi\}$. ヤコビアンは

$$\frac{\rd(x,y)}{\rd(r,\theta)}= \det \left( \begin{array}{cc} x_r... ...ay}\right) =a\cos\theta\cdot br\cos\theta-(-ar\sin\theta)\cdot b\sin\theta=abr$$

となるので、 $\DxDy=\left\vert\dfrac{\rd(x,y)}{\rd(r,\theta)}\right\vert\D r\,\D\theta =abr\;\D r\,\D\theta$.

$$I=\dint_{D}(a r \cos\theta)^2\cdot a b r\;\D r\,\D\theta =a^3 b\i... ...\;\D\theta =a^3 b\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{2\pi}{2}=\frac{\pi a^3 b}{4}. \qed$$

最初に $x=a u$, $y=b v$ と変数変換すると、 $\DxDy=a b\;\D u\,\D v$ となり、$\Omega$ は $D:=\{(u,v);u^2+v^2\le 1\}$ と 1対1に対応するので、

$$I=\dint_D (a u)^2\cdot a b\;\Du\,\Dv=a^3b\dint_D u^2\;\Du\,\Dv$$

ここから後は通常の極座標変換などを使って $\dsp\dint_D u^2\;\D u\,\D v= \frac{\pi}{4}$ (p.57 の例 1.5.1 参照). ゆえに $I=\dfrac{\pi a^3 b}{4}$.$\qedsymbol$

ARRAY(0xf07ac8)