0.0.0.1 問4

演習のプリントの問3をなるべくたくさん解け。

今回は全部こうなる (だから1変数関数の積分計算の復習)

$$\dint_{[a,b]\times[c,d]}F(x)G(y)\,\Dx\,\Dy =\left(\int_a^b F(x)\,\D x\right) \left(\int_c^d G(y)\,\D y\right).$$ (★)

$\sqrt{x^2+k\,}$, $1/\sqrt{x^2+k\,}$ の積分 (基礎数学3の復習)

$k$ を実定数とするとき、部分積分により (自分でやってみること！)

$$\int \sqrt{x^2+k\,}\,\D x=\frac{1}{2}\left( x\sqrt{x^2+k\,}+k\int\frac{\D x}{\sqrt{x^2+k\,}\,}\right).$$

この右辺の第2項に関しては

$$\int\frac{\D x}{\sqrt{x^2+k}\,} = \log\left\vert x+\sqrt{x^2+k\,}\right\vert.$$ (♯)

一般に、$R(x,y)$ を $x$, $y$ の有理式とするとき、 $\dsp\int R\left(x,\sqrt{\mbox{$x$\ の2次式}}\right)\Dx$ は$1$変数の 有理関数の積分に帰着され、 初等関数の範囲で原始関数が求まる。