0.0.0.2 解答

$$\rot\Vector{f} =\nabla\times\Vector{f} = \det\left( \begin{matrix}\dfrac{\rd}{\r... ...rd x}\left(2yz+x^2\right) -\dfrac{\rd}{\rd y}\left(2xy+z^2\right) \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}2y-2y 2x-2y 2x-2x \end{pmatrix} =\Vector{0}.$$

$\Vector{f}$ の定義域は $\R^3$ と考えられ、 これは単連結領域である。 また上で示したように $\rot\Vector{f}=\Vector{0}$ であるから、 $\Vector{f}$ はポテンシャルを持つ。 原点から $\Vector{x}=(x,y,z)^T$ に 真っ直ぐ至る曲線 (像は線分) を $C_{\Vector{x}}$ とすると、 そのパラメーター付けとして $\Vector{\varphi}(t)=t(x,y,z)^T$ が取れる。

$$\Vector{f}(\Vector{\varphi}(t)) =\Vector{f}(tx,ty,tz) =t^2\begin{... ...d{pmatrix},\quad \Vector{\varphi}'(t)=\begin{pmatrix}x y z \end{pmatrix},$$

$$\Vector{f}(\Vector{\varphi}(t))\cdot\Vector{\varphi}'(t) =t^2\left(2x^2y+x z^2+2y^2z+x^2y+2z^2 x+y^2 z\right) =3t^2(x^2y+y^2z+z^2x).$$

であるから、 $\Vector{f}$ の (1つの) ポテンシャルとして

$$F(\Vector{x}) :=\int_{C_{\Vector{x}}}\Vector{f}\cdot\D\Vector{r} =\int_0^1 3t^2(x^2y+y^2z+z^2x)\D t =x^2y+y^2z+z^2x$$

が得られる。実際

$$\grad F(\Vector{x}) =(2xy+z^2,x^2+2yz,y^2+2zx)^T=\Vector{f}(\Vector{x})$$

は容易に確認できる。 $\qedsymbol$

ARRAY(0xf0af44)