0.0.0.4 (2) の解答

$(0,0)$ からまっすぐ $(1,0)$ に向う曲線 (形は線分) を $\gamma_1$, $(1,0)$ からまっすぐ $(1,1)$ に向う曲線 (形は線分) を $\gamma_2$ とすると、 $C_2=\gamma_1+\gamma_2$ で、

$$\int_{C_2}\Vector{f}\cdot \D\Vector{r} = \int_{\gamma_1}\Vector{f}\cdot \D\Vector{r} + \int_{\gamma_2}\Vector{f}\cdot \D\Vector{r}.$$

$\gamma_1$ は $\Vector{r}=\twovector{t}{0}$ ($t\in[0,1]$) と パラメーターづけできる。

$$\Vector{f}(\Vector{r})=\Vector{f}(t,0)=\twovector{0}{t^2},\quad \... ...quad \Vector{f}(\Vector{r})\cdot\frac{\D\Vector{r}}{\D t} =0\cdot1+t^2\cdot0=0$$

であるから、

$$\int_{\gamma_1}\Vector{f}\cdot\D\Vector{r} =\int_0^1 0\;\D t=0.$$

一方 $\gamma_2$ は $\Vector{r}=\twovector{1}{t}$ ($t\in[0,1]$) と パラメーターづけできる。

$$\Vector{f}(\Vector{r})=\Vector{f}(1,t)=\twovector{t}{1},\quad \fr... ...,\quad \Vector{f}(\Vector{r})\cdot\frac{\D\Vector{r}}{\D t} =t\cdot0+1\cdot1=1$$

であるから、

$$\int_{\gamma_2}\Vector{f}\cdot\D\Vector{r} =\int_0^1 1\;\D t=1.$$

ゆえに

$$\int_{C_2}\Vector{f}\cdot \D\Vector{r} = \int_{\gamma_1}\Vector{f}\cdot \D\Vector{r} + \int_{\gamma_2}\Vector{f}\cdot \D\Vector{r} =0+1=1. \qed$$