0.0.0.1 問12.

$C^2$ 級のベクトル場 $\Vector{f}\colon\R^3\to\R^3$ に対して、 次の (1), (2) が成り立つことを示せ。
(1) $\Div\left(\rot\Vector{f}\right)=0$     (2) $\rot\left(\rot\Vector{f}\right)=\grad\left(\Div\Vector{f}\right)- \Vector{\Laplacian}\Vector{f}$

(1)

$$\rot\Vector{f} =\det \left( \begin{array}{ccc} \dfrac{\rd}{\rd x_... ...x_1} \\ [2ex] \dfrac{\rd f_2}{\rd x_1}-\dfrac{\rd f_1}{\rd x_2} \end{pmatrix}.$$

$f_i$ が $C^2$ 級なので2階偏導関数は偏微分の順序に依らないことから、

$$\det\left(\rot\Vector{f}\right) =\frac{\rd}{\rd x_1} \left(\dfrac{\rd f_3}{\rd x_2}-\dfrac{\rd f_... ...ac{\rd}{\rd x_3} \left(\dfrac{\rd f_2}{\rd x_1}-\dfrac{\rd f_1}{\rd x_2}\right)$$

$$=\dfrac{\rd^2 f_3}{\rd x_1\rd x_2} -\dfrac{\rd^2 f_2}{\rd x_1\rd ... ...\rd x_1} +\frac{\rd^2 f_2}{\rd x_3\rd x_1} -\frac{\rd^2 f_1}{\rd x_3\rd x_2}=0.$$

$\Vector{v}=(v_1,v_2,v_3)^T:=\rot\Vector{f}$ とおくと、

$$\rot\left(\rot \Vector{f}\right) =\rot\Vector{v} =\begin{pmatrix}... ...2}\left(\dfrac{\rd f_3}{\rd x_2}-\dfrac{\rd f_2}{\rd x_3}\right) \end{pmatrix}.$$