0.0.0.2 解答

(1) ベクトル積の幾何学的特徴づけを使えば、明らかに $\Vector{e}_1\times\Vector{e}_2=\Vector{e}_3$. 以下同様に $\Vector{e}_2\times\Vector{e}_3=\Vector{e}_1$, $\Vector{e}_3\times\Vector{e}_1=\Vector{e}_2$ が得られるが、 ここでは「計算で求めよ」ということなので、

$$\Vector{e}_1\times\Vector{e}_2 =\det \left( \begin{array}{ccc} 1 ... ...right\vert\Vector{e}_3 =0\Vector{e}_1-0\Vector{e}_2+1\Vector{e}_3=\Vector{e}_3$$

などとする。
(2) $\Vector{a}=\Vector{e}_1$, $\Vector{b}=\Vector{e}_1$, $\Vector{c}=\Vector{e}_2$ とすると、(1) の結果を使って

$$\left(\Vector{a}\times\Vector{b}\right)\times\Vector{c} =\left(\Vector{e}_1\times\Vector{e}_1\right)\times\Vector{e}_2 =\Vector{0}\times\Vector{e}_2=\Vector{0},$$

$$\Vector{a}\times\left(\Vector{b}\times\Vector{c}\right) =\Vector{e}_1\times\left(\Vector{e}_1\times\Vector{e}_2\right) =\Vector{e}_1\times\Vector{e}_3 =-\Vector{e}_3\times\Vector{e}_1 =-\Vector{e}_2$$

となるので、明らかに $\left(\Vector{a}\times\Vector{b}\right)\times\Vector{c} \ne\Vector{a}\times\left(\Vector{b}\times\Vector{c}\right)$.
(3) $\Vector{b}-\Vector{a}$ と $\Vector{c}-\Vector{a}$ の作る平行四辺形 の一部であり、面積は半分であるから、

$$\Vector{S}:=\frac{1}{2} \left\Vert \left(\Vector{b}-\Vector{a}\right) \times \left(\Vector{c}-\Vector{a}\right) \right\Vert$$

は面積ベクトルである。ベクトル積の双線形性から、いわゆる展開が出来て、

$$\Vector{S}:=\frac{1}{2} \left( \Vector{b}\times\Vector{c}-\Vector... ...imes\Vector{a} -\Vector{a}\times\Vector{c}+\Vector{a}\times\Vector{a} \right).$$

ここで反可換性より、 $\Vector{b}\times\Vector{a}=-\Vector{a}\times\Vector{b}$, $\Vector{a}\times\Vector{c}=-\Vector{c}\times\Vector{a}$, $\Vector{a}\times\Vector{a}=\Vector{0}$ であるから、

$$\Vector{S}=\frac{1}{2}\left( \Vector{b}\times\Vector{c}+\Vector{a... ...imes\Vector{b}+\Vector{b}\times\Vector{c}+ \Vector{c}\times\Vector{a} \right).$$