0.0.0.3 注意

これは非常にしばしば現れる広義積分であるが、 結果が複雑で間違えやすい。いくつかヒントを書いておく。

• 分かれ目は $\dsp\int r^\beta\;\D r$ の $\beta$ が $-1$ になるところであり、 $-1$ は発散。つまり $\dsp\int_0^1\frac{\D r}{r}$ も $\dsp\int_1^\infty\frac{\D r}{r}$ も発散である。
• $r^{-\alpha}$ は $\alpha$ が大きいほど、遠方では速く減少し、 原点の近くでは速く無限大に発散する。 ゆえに遠方での積分が収束する条件は $\alpha$ が十分大きいことで、 原点近傍での積分が収束する条件は $\alpha$ が十分小さいことである。
• 結果が正であることは明らかなので、 「$\alpha>3$ のとき $\dfrac{4\pi}{3-\alpha}$」のようになったら、 間違いであることはすぐ分かる (この手のミスは結構多い -- 簡単にチェックできることなので間違えないように)。