0.0.0.3 解説

上限と下限について理解してもらいたいが、 不等号の向きを逆にするだけのことだから、 上限についてだけ説明する。まず基本となる定理を見ることから。

定理 (Weierstrass (ワイエルシュトラス))

$\R$ の部分集合 $A$ が空でなく、上に有界ならば、$A$ の上限が存在する。

(この定理は、実数体 $\R$ の連続性というものの一つの表現である。 証明は実数の構成に依存していて難しいので、ここでは述べない。)

$A$ が上に有界であるとは、$A$ が少なくとも 1 つ上界を持つこと、 すなわち

$$(\exists U\in\R) (\forall a\in A)\quad a\le U$$

が成り立つことをいう ($U$ を $A$ の上界という)。

$A$ の上限とは、$A$ の上界の最小値のことを指す。すなわち

$U\in\R$ が $A$ の上限    $\LongIff$     $\Biggl\{$

(i)

( $\forall a\in A$)    $a\le U$

(ii)

( $\forall\eps>0$) ( $\exists a\in A$) s.t. $a>U-\eps$

(i) は $U$ が $A$ の上界であることを表している。 (ii) は $U$ を少しでも小さくすると $A$ の上界ではなくなることを示す (これで最小性を表している)。

上限は最大値を一般化した概念である。実際

1. 最大値が存在するとき、それは上限である。
2. 最大値も上限もつねに存在するとは限らないが、 最大値が存在しなくても上限が存在することは多い。

特に $\sup$ という記号は、 $A\subset \R$, $A\ne \emptyset$ なる $A$ に対して、

$$\sup A:= \left\{ \begin{array}{ll} \mbox{$A$ の上限} & \mbox{($A... ...の上限が存在しないとき、つまり $A$ が 上に有界でないとき)} \end{array}\right.$$

で定義されるので、いつでも意味を持つことに注意しよう。