2.0.0.1 解

まず導関数を計算しよう:

$$\nabla f(x) =\begin{pmatrix} f_x f_y \end{pmatrix}=\twovector{3x^2-y}{3y^2-x},$$

   $$\mbox{$f$ の Hesse 行列 $H$}$$$$= \left( \begin{array}{ll} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \e... ...ray}\right) = \left( \begin{array}{rr} 6x & -3 \\ -3 & 6y \end{array}\right).$$

$f$ の停留点を求める。

$$\nabla f(x,y)=0 \Iff \left\{ \begin{array}{l} 3x^2-3y=0 \\ 3y^2-3x=0 \end{array}\... ...\left\{ \begin{array}{l} x^2-y=0 \\ y^2-x=0 \end{array}\right.$$

$$\Iff \left\{ \begin{array}{l} y=x^2 \\ x^4-x=0 \end{array}\right.$$

$$\Iff x=y=0 \quad x=y=1.$$

(1)

点 $\twovector{x}{y}=\twovector{0}{0}$ においては

$$H= \left( \begin{array}{rr} 0 & -3 \\ -3&0 \end{array}\right), \quad\therefore \det H=-9<0.$$

$H$ は不定符号であるから、この点は極値点ではない。

(2)

点 $\twovector{x}{y}=\twovector{1}{1}$ においては

$$H= \left( \begin{array}{rr} 6 & -3 \... ...), \quad\therefore \det D_1=6>0, \quad \det D_2=\det H=6\cdot 6-(-3)(-3)=27>0.$$

$H$ は正値であるから、この点は極小点である。 値は

$$f(1,1)=1^3+1^3-3\cdot 1\cdot 1=-1.$$

以上をまとめると、 $\twovector{x}{y}=\twovector{1}{1}$ のとき極小値 $-1$. $\qedsymbol$

図1は $[-1.5,1.5]\times[-1.5,1.5]$ で関数の様子を調べたものである。

図 1: $f(x,y)=x^3+y^3-3xy$.

[等高線]

[ちょうかんず鳥瞰図]

ARRAY(0xff1ae8)