解答

(1)

対角行列だから、固有値は対角成分の $1$, $1$. ともに正だから正値である。

(2)

対角行列だから、固有値は対角成分の $-1$, $-2$. ともに負だから負値である。

(3)

対角行列だから、固有値は対角成分の $3$, $-1$. 正と負だから、不定符号である。

(4)

問題の行列を $A$ とおくと、特性多項式は $\det(\lambda I-A)=\left\vert\begin{matrix}\lambda-2 & -3 -3&\lambda-1 \end{matrix}\right\vert =(\lambda-2)(\lambda-1)-(-3)(-3)=\lambda^2-3\lambda-7$ であり、 固有値は $\dfrac{3\pm\sqrt{37}}{2}$ である。 正と負だから不定符号である。あるいは

$$\det A_1=A_1=2>0,\quad \det A_2=\det A=\left\vert\begin{matrix}2 & 3 3 & 1\end{matrix}\right\vert =2\cdot1-3^2=-7<0$$

を見て、$\det A<0$ であるから、不定符号である。

(5)

問題の行列を $A$ とおくと、 特性多項式は $\det(\lambda I-A)=\left\vert\begin{matrix}\lambda-3&-2 -2 & \lambda-3\end{matrix}\right\vert=(\lambda-3)^2-2^2=\lambda^2-6\lambda+5=( \lambda-1)(\lambda-5)$ であり、固有値は $1$, $5$ である。 共に正であるから正値である。あるいは

$$\det A_1=A_1=3>0,\quad \det A_2=\det A=3\cdot 3-2\cdot 2=9-4=5>0$$

であるから、$A$ は正値である。

(6)

(これは前問の行列の$-1$倍だから、負値である。) 問題の行列を $A$ とおくと、 特性多項式は $\det(\lambda I-A)=\left\vert\begin{matrix}\lambda+3&2 2 & \lambda+3\end{matrix}\right\vert=(\lambda+3)^2-2^2=\lambda^2+6\lambda+5 =(\lambda+1)(\lambda+5)$ であり、固有値は $-1$, $-5$ である。 共に負であるから負値である。あるいは

$$\det A_1=A_1=-3<0,\quad \det A_2=\det A=(-3)^2-(-2)^2=5>0$$

であるから、 $(-1)^k\det A_k>0$ ($\forall k$) を満たしているので、 $A$ は負値である。

(7)

問題の行列を $A$ とおくと、 特性多項式は $\det(\lambda I-A)=\left\vert\begin{matrix}\lambda-4&-2 -2 & \lambda-1\end{matrix}\right\vert=(\lambda-4)(\lambda-1)-2^2=\lambda^2-5\lambda =\lambda(\lambda-5)$ であり、固有値は 0, $5$ である。 固有値に 0 があるので、正値でも負値でもない。また正の固有値はあるが、 負の固有値はないので、不定符号でもない。 ゆえに「正値でも、負値でも、不定符号のいずれでもない」。あるいは、

$$\det A=4\cdot 1-2^2=0$$

から固有値に 0 があることが分かり (固有値を $\lambda_1$, $\lambda_2$ とすると、 $\lambda_1\lambda_2=\det A=0$ だから)、正値でも負値でもないことが分かる。 2次の正方行列の場合、 もし不定符号であれば $\det A=\lambda_1\lambda_2<0$ であり、 これは $\det A=0$ に反するから、 $A$ は不定符号でないことも分かる。

(8)

これは対角行列なので、固有値は対角成分で、0, 0. 正でない固有値があるので正値ではなく、 負でない固有値があるので負値ではなく、 正と負両方の固有値があるわけでないので不定符号ではない。

(9)

対角行列だから、固有値は対角成分の $1$, $2$, $3$. みな正だから正値である。

(10)

対角行列だから、固有値は対角成分の $1$, $-2$, $3$. 正の固有値と負の固有値があるので不定符号である。

(11)

$\left(\begin{array}{cc\vert c} 3 & 2 & 0 2 & 3 & 0 \hline 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$ とブロック分けしたとき、対角線上にあるブロック以外はすべて 0 である。 ゆえに対角線上にあるブロックの固有値を調べればよい。 $\begin{pmatrix}3 & 2 2 & 3\end{pmatrix}$ は既に見たように正値である (問 (5))。 右下のブロックの固有値は$1$でこれも正である。 ゆえに正値である。

問題の行列を $A$ とおくと、 特性多項式は

$$\det(\lambda I-A) =\left\vert\begin{matrix}\lambda-3&-2&0 -2 &\lambda-3&0 0 & 0... ...a-1) \left\vert\begin{matrix}\lambda-3&-2 -2&\lambda-3\end{matrix}\right\vert$$

$$=(\lambda-1)((\lambda-3)^2-2^2) =(\lambda-1)(\lambda^2-6\lambda+5)$$

$$=(\lambda-1)(\lambda-5)(\lambda-1) =(\lambda-1)^2(\lambda-5)$$

であり、固有値は $1$, $1$, $5$ である。 すべて正であるから正値である。

あるいは、

$$\det A_1=3>0,\quad \det A_2=\left\vert\begin{matrix}3 & 2 2 & 3\end{matrix}\right\vert =3^2-2^2=9-4=5,$$

$$\det A_3 =\left\vert\begin{matrix}3 & 2 & 0 2 & 3 & 0 0 & 0 ... ...ert =\left\vert\begin{matrix}3 & 2 2 & 3 \end{matrix}\right\vert\cdot 1 =5>0$$

であるから、 $\det A_k>0$ ($k=1,2,3$) が成り立っていて、 正値であることが分かる。

(12)

これもブロック分けすると、固有値は、 $A_2=\begin{pmatrix}-3&2 2&-3\end{pmatrix}$ の固有値と、$-3$ を合わせたもの だと分かる。$A_2$ は負値であるので (省略)、問題の行列の固有値はすべて 負であることが分かり、負値である。

問題の行列を $A$ とおくと、 特性多項式は

$$\det(\lambda I-A) =\left\vert\begin{matrix}\lambda+3&-2&0 -2 &\lambda+3&0 0 & 0... ...a+3) \left\vert\begin{matrix}\lambda+3&-2 -2&\lambda+3\end{matrix}\right\vert$$

$$=(\lambda+3)((\lambda+3)^2-2^2) =(\lambda+3)(\lambda^2+6\lambda+5)$$

$$=(\lambda+3)(\lambda+5)(\lambda+1) =(\lambda+1)(\lambda+3)(\lambda+5)$$

であり、固有値は $-1$, $-3$, $-5$ である。 すべて負であるから負値である。

あるいは

$$\det A_1=-3<0,\quad \det A_2=\left\vert\begin{matrix}-3&2 2&-3\end{matrix}\right\vert =(-3)^2-2^2=9-4=5>0,$$

$$\det A_3=\left\vert\begin{matrix}-3&2&0 2&-3&0 0&0&-3\end{mat... ...rt\begin{matrix}-3&2 2&-3 \end{matrix}\right\vert\cdot (-3) =5\cdot(-3)=-15<0$$

であり、 $(-1)^k\det A_k>0$ ($\forall k$) が成り立っているので、 負値であることが分かる。

(13)

問題の行列を $A$ とおくと、 特性多項式は

$$\det(\lambda I-A) =\left\vert\begin{matrix}\lambda-4&-1&0 -1 &\lambda-4&-1 0 & -1&\lambda-4\end{matrix}\right\vert$$

$$= (\lambda-4)\left\vert\begin{matrix}\lambda-4&-1 -1&\lambda-4\... ...)^{(2+1)}(-1)\left\vert\begin{matrix}-1&0 -1&\lambda-4\end{matrix}\right\vert$$

$$=(\lambda-4)\left((\lambda-4)^2-(-1)^2\right)-(\lambda-4) =(\lambda-4)\left(\lambda^2-8\lambda+14\right)$$

であり、固有値は $4$, $4\pm\sqrt{2}$ である。 すべて正であるから正値である。

あるいは

$$\det A_1=4>0,\quad \det A_2=\left\vert\begin{matrix}4&1 1&4\end{matrix}\right\vert =4^2-1^2=15>0,$$

$$\det A_3=\left\vert\begin{matrix}4&1&0 1&4&1 0&1&4\end{matrix}\right\vert =4\cdot4\cdot4-4\cdot1\cdot1-4\cdot 1\cdot1 =64-4-4=56>0$$

であり、 $\det A_k>0$ ($\forall k$) が成り立っているので、 正値であることが分かる。 $\qedsymbol$

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