1.1 まずは問題から

$K$ を $\R^2$ 内の3点 $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$ を頂点とする三角形 とする: $K=\{(x,y)\in\R^2\; x\ge 0, y\ge 0, x+y\le 1\}$. $f\colon K\to\R$ を

$$f(x,y)=3x^2+2y^2+2xy -2x-2y+1$$

で定めるとき、$f$ の最大値、$f$ の最小値を求めよ。

とりあえず微分してみましょう。

$$f'(x,y)=\left(\frac{\rd f}{\rd x} \frac{\rd f}{\rd y}\right) =\left(6x+2y-2 4y+2x-2\right).$$

これから

$$f'(x,y)=0\quad\Iff\quad (x,y)=\left(\frac{1}{5},\frac{2}{5}\right).$$

さて、ここからどうしたら良いか？ 1変数関数の場合のような増減表は書けない。 そもそも $f'$ の符号を調べるというのが、 どう多変数関数に拡張したら良いか分からない ($f'(x,y)$ はベクトルなので)。

しかし

$f$ が定義域の内点 $a$ で極大 (or 極小) ならば $f'(a)=0$

は多変数関数でも成立する (すぐ後で証明する)。

また

$f'(a)=0$, $a$ の十分近くで $f''>0$ $\Then$ $f$ は $a$ で極小

は多変数関数への拡張が出来る (今回、定理を紹介する)。